Mostre que a matriz
A=[lll 4 & 1 & 0 2 & 3 & 0 0 & 0 & 5 ]
é diagonalizável e utilize a diagonalização de A para calcular A^5.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & 1 & 0 2 & 3 & 0 0 & 0 & 5
e pede para mostrar que A é diagonalizável e usar essa diagonalização para calcular A^5. O conteúdo necessário inclui cálculos de autovalores, autovetores, montagem de P e D em A = P,D,P^-1 e então A^5 = P,D^5,P^-1.

Passo 2

Calcular os autovalores de A. Como A é blocada em
B = 4&12&3
e o bloco (5), temos
det(B-lambda I) = det4-lambda & 12 & 3-lambda =(4-lambda)(3-lambda)-2cdot1 =lambda^2-7lambda+10
As raízes são
lambda^2-7lambda+10=0 Longrightarrow lambda=2 ou lambda=5
No bloco isolado temos também lambda=5. Logo os autovalores de A são
2(mu<iplicidade 1), 5(mu<iplicidade 2)

Passo 3

Encontrar autovetores de A.
  1. Para lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0. No bloco B-2I vem
    2&12&1(x1,x2)=0, ou seja x2=-2x1. Tomando x1=1 obtemos
v2 = 1-20
  1. Para lambda=5, no bloco B-5I vem
    -1&12&-2(x1,x2)=0, ou seja x1=x2. Tomando x1=1
v5,1 = 110
Além disso, da linha isolada (0,0,5) vem o autovetor
v5,2 = 001
Como há três autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável. Montamos
P = l[v2;;v5,1;;v5,2r] = 1 & 1 & 0 -2& 1 & 0 0 & 0 & 1 , D = diag(2,5,5)

Passo 4

Para elevar A à quinta potência, usamos
A^5 = P,D^5,P^-1,
onde
D^5 = diag(2^5,5^5,5^5) = diag(32,3125,3125)
Observe que P é blocada em P1&00&1 com
P1 = 1&1-2&1, P1^-1=131&-12&1
Assim, o bloco superior de A^5 é
B^5 = P132&00&3125P1^-1 = 2094 & 10312062 & 1063,
e a terceira linha/coluna fica (0,0,3125).

Resposta

A^5 = 2094 & 1031 & 0 2062 & 1063 & 0 0 & 0 & 3125

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