Verifique quais matrizes são diagonalizáveis. Para as que são diagonalizáveis, encontre a matriz diagonal.
T]=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
T = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}
é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar a matriz diagonal associada. Vamos usar autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de T pela fórmula
\det(T - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\\\ 0 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda).

Passo 3

Igualamos a zero para achar os autovalores:
(1-\lambda)(-1-\lambda)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=1, \;\lambda_2=-1.

Passo 4

Como os autovalores \lambda_1 e \lambda_2 são distintos, cada um gera um autovetor linearmente independente. Logo, T é diagonalizável.

Passo 5

A matriz diagonal D terá os autovalores na diagonal, na mesma ordem de um conjunto de autovetores independentes. Assim,
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

A matriz T é diagonalizável.
A matriz diagonal correspondente é
D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

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