Verifique que a matriz abaixo não é diagonalizável, para qualquer a in R :
[
\left( ccc a & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & a \right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz triangular superior A=a & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & a
não é diagonalizável para nenhum valor real de a. O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes: vamos precisar calcular autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica e comparar essas multiplicidades.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Portanto, o único autovalor é lambda=a, com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 3

Para achar a multiplicidade geométrica, consideramos o núcleo de A - aI. Primeiro escrevemos
A - aI = a & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & a - a & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & a = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Agora resolvemos (A - aI)x=0. Chamando x=(x1,x2,x3)^T, o sistema é
0cdot x1 + 1cdot x2 + 0cdot x3 = 0 0cdot x1 + 0cdot x2 + 1cdot x3 = 0 0 = 0
Ou seja, x2=0 e x3=0, enquanto x1 fica livre. Isso mostra que o espaço próprio associado a lambda=a é gerado por (1,0,0)^T e tem dimensão 1.

Passo 4

Como a multiplicidade algébrica de lambda=a é 3 e a geométrica é 1, elas não coincidem. Para uma matriz ser diagonalizável, cada autovalor precisa ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui isso não ocorre, então A não é diagonalizável para nenhum a.

Resposta

A matriz não é diagonalizável para nenhum valor real de a, pois seu único autovalor a tem multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1.

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