Verifique que a matriz abaixo não é diagonalizável, para qualquer :
[
\left(\right)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz triangular superior
não é diagonalizável para nenhum valor real de a. O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes: vamos precisar calcular autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica e comparar essas multiplicidades.
Passo 2
Como A é triangular, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal. Portanto, o único autovalor é lambda=a, com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 3
Para achar a multiplicidade geométrica, consideramos o núcleo de A - aI. Primeiro escrevemos
A - aI = a & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & a - a & 0 & 0 0 & a & 0 0 & 0 & a = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Agora resolvemos (A - aI)x=0. Chamando x=(x1,x2,x3)^T, o sistema é
Ou seja, x2=0 e x3=0, enquanto x1 fica livre. Isso mostra que o espaço próprio associado a lambda=a é gerado por (1,0,0)^T e tem dimensão 1.
Passo 4
Como a multiplicidade algébrica de lambda=a é 3 e a geométrica é 1, elas não coincidem. Para uma matriz ser diagonalizável, cada autovalor precisa ter multiplicidade geométrica igual à algébrica. Aqui isso não ocorre, então A não é diagonalizável para nenhum a.
Resposta
A matriz não é diagonalizável para nenhum valor real de a, pois seu único autovalor a tem multiplicidade algébrica 3 e geométrica 1.