Verifique em cada um dos casos abaixo se
define um produto interno no espaço vetorial
dado.
(a)
, sendo
.
(a)
Passo 1
Neste exercício, temos o espaço vetorial
e a forma bilinear definida por
onde
e
. Precisamos verificar as três propriedades de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.
Passo 2
Para a simetria, trocamos
por
e obtemos
Logo, a forma é simétrica. Quanto à bilinearidade, cada termo é soma de produtos de coordenadas de
e
, o que garante linearidade em cada argumento.
Passo 3
Para a positividade definida, calculamos
Fazendo o quadrado completo em
, temos
com igualdade só se
. Assim,
para todo
.
Passo 4
Como a forma satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, concluímos que ela é um produto interno em
.
Resposta
Sim, a forma dada define um produto interno em
.