Verifique em cada um dos casos abaixo se lang<= u, vrang<= define um produto interno no espaço vetorial V dado.
(a) lang<= u, vrang<==2 x x^prime-x y^prime-x^prime y+2 y y^prime, sendo .

Passo 1

Neste exercício, temos o espaço vetorial V=R^2 e a forma bilinear definida por
lang<= u,vrang<= = 2xx' - x y' - x' y + 2yy',
onde u=(x,y) e v=(x',y'). Precisamos verificar as três propriedades de um produto interno: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Para a simetria, trocamos u por v e obtemos
lang<= v,urang<= = 2x'x - x' y - x y' + 2y'y = 2xx' - x y' - x' y + 2yy' = lang<= u,vrang<=
Logo, a forma é simétrica. Quanto à bilinearidade, cada termo é soma de produtos de coordenadas de u e v, o que garante linearidade em cada argumento.

Passo 3

Para a positividade definida, calculamos
lang<= u,urang<= = 2x^2 - 2xy + 2y^2 = 2l(x^2 - xy + y^2r)
Fazendo o quadrado completo em x^2 - xy + y^2, temos
x^2 - xy + y^2 = l(x - tfracy2r)^2 + tfrac34y^2 >= 0,
com igualdade só se x=y=0. Assim, lang<= u,urang<=>0 para todo uneq(0,0).

Passo 4

Como a forma satisfaz simetria, bilinearidade e positividade definida, concluímos que ela é um produto interno em R^2.

Resposta

Sim, a forma dada define um produto interno em R^2.

Exercícios relacionados