Mostre que a matriz [cc3 & 4 -2 & -3] é sua própria inversa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = 3 & 4 -2 & -3
é igual à sua inversa. O conteúdo é multiplicação de matrizes e a definição de inversa: A^-1 é tal que A,A^-1=I. Para provar que A^-1=A, basta verificar que A^2=I.

Passo 2

Lembrando que a multiplicação de duas matrizes 2times2
A = a & b c & d, B = e & f g & h
é dada por
AB = ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh
Aqui aplicaremos essa regra com B=A.

Passo 3

Calculemos A^2 = A,A. Usando os elementos de A:
A^2 = 3 & 4 -2 & -3 3 & 4 -2 & -3 = 3cdot3 + 4cdot(-2) & 3cdot4 + 4cdot(-3) (-2)cdot3 + (-3)cdot(-2) & (-2)cdot4 + (-3)cdot(-3)

Passo 4

Agora avaliamo os produtos:
3cdot3 + 4cdot(-2) = 9 - 8 = 1, 3cdot4 + 4cdot(-3) = 12 - 12 = 0,
(-2)cdot3 + (-3)cdot(-2) = -6 + 6 = 0, (-2)cdot4 + (-3)cdot(-3) = -8 + 9 = 1
Logo
A^2 = 1 & 0 0 & 1 = I

Passo 5

Como A^2 = I, concluímos que A^-1=A.

Resposta

A^-1 = A = 3 & 4 -2 & -3

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