Mostre que a matriz A=[lla11 & a12 a21 & a22] é sua própria inversa se A= pm I ou se a11=-a22 e a21 a12=1-a11^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma matriz
A = a11 & a12 a21 & a22
é igual à sua inversa, isto é, A^-1=A. Em geral, para matrizes quadradas isso equivale a
A^2 = I
Vamos usar álgebra elementar de matrizes 2times 2 para identificar as condições nos elementos aij.

Passo 2

Calculemos
A^2 = Acdot A = a11 & a12 a21 & a22 a11 & a12 a21 & a22 = a11^2 + a12a21 & a11a12 + a12a22 a21a11 + a22a21 & a21a12 + a22^2

Passo 3

Impor A^2=I dá o sistema
a11^2 + a12a21 = 1, a11a12 + a12a22 = 0, a21a11 + a22a21 = 0, a21a12 + a22^2 = 1

Passo 4

Das duas equações off-diagonais obtemos
a12,(a11+a22) = 0, a21,(a11+a22) = 0
Isso leva a duas possibilidades:
1. a11+a22neq0.
2. a11+a22=0.

Passo 5

Se a11+a22neq0, então obrigatoriamente a12=0 e a21=0. Das equações diagonais segue
a11^2 = 1, a22^2 = 1
Para que a11+a22neq0 com essas raízes, devemos ter a11=a22=pm1, isto é,
A = pm I

Passo 6

Se a11+a22=0, então a22=-a11. Substituindo nas equações diagonais, ambas reduzem a
a11^2 + a12a21 = 1,
ou seja,
a21,a12 = 1 - a11^2,
que é exatamente a segunda condição do enunciado.

Resposta

Mostrou-se que A=A^-1 ocorre exatamente em dois casos:
1. A = pm I 2. a11 = -a22 e a21,a12 = 1 - a11^2

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