Mostre que a matriz
é sua própria inversa se
ou se
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma matriz
é igual à sua inversa, isto é,
. Em geral, para matrizes quadradas isso equivale a
Vamos usar álgebra elementar de matrizes
para identificar as condições nos elementos
.
Passo 2
Calculemos
Passo 3
Impor
dá o sistema
Passo 4
Das duas equações off-diagonais obtemos
Isso leva a duas possibilidades:
1 .
a11+a22neq0 .
2 .
a11+a22=0 .
Passo 5
Se
a11+a22neq0 , então obrigatoriamente
a12=0 e
a21=0 . Das equações diagonais segue
Para que
a11+a22neq0 com essas raízes, devemos ter
a11=a22=pm1 , isto é,
Passo 6
Se
a11+a22=0 , então
a22=-a11 . Substituindo nas equações diagonais, ambas reduzem a
ou seja,
que é exatamente a segunda condição do enunciado.
Resposta
Mostrou-se que
A=A^-1 ocorre exatamente em dois casos: