Seja alpha=w1, w2, w3 uma base de V, um espaço vetorial real com produto interno lang<=, rang<= Se [u]_{\alpha}{t}=(2,-1,3),[v]_{\alpha}{t}=(5,2,-3) e\langle u, v\rangle=2 , a base \alpha$ é ortonornal?

Passo 1

O enunciado dá um espaço real V com produto interno lang<=,,rang<= e uma base alpha=w1,w2,w3. Sabemos que as coordenadas de dois vetores são
[u]alpha^t=(2,-1,3), [v]alpha^t=(5,2,-3)
e que o produto interno lang<= u,vrang<= vale 2. A questão pergunta se alpha é ortonormal.

Passo 2

Em uma base ortonormal vale sempre
lang<= u,vrang<= = [u]alpha^tcdot [v]alpha = 2cdot 5 + (-1)cdot 2 + 3cdot(-3)
Aqui usamos que em base ortonormal o produto interno coincide com o produto escalar usual das coordenadas.

Passo 3

Calculando o produto escalar das coordenadas:
2cdot 5 + (-1)cdot 2 + 3cdot(-3) =10 -2 -9 = -1

Passo 4

Se alpha fosse ortonormal, teríamos lang<= u,vrang<==-1, mas o enunciado diz que lang<= u,vrang<==2. Há divergência, logo a base não é ortonormal.

Resposta

Não.

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