Mostre que a matriz A=[ai j](2,2) tem uma inversa se De<a=a11 a22-a12 a21 é não-nulo (veremos mais tarde que De<a é o determinante de A ). (Sugestão: se De<a neq 0 mostre que
A^-1=1De<a[rr a22 & -a12 -a21 & a11 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = a11 & a12 a21 & a22
é invertível sempre que
De<a = a11a22 - a12a21 neq 0
O conteúdo que vamos usar é a definição de matriz inversa e multiplicação de matrizes 2 times 2, além do conceito de determinante (aqui dado por De<a).

Passo 2

Suponha De<a neq 0 e considere a matriz candidata
B = 1De<a a22 & -a12 -,a21 & a11
Nossa missão é verificar que AB = I2, onde I2 é a identidade 2 times 2.

Passo 3

Calcule o produto AB:
AB = a11 & a12 a21 & a22 1De<a a22 & -a12 -,a21 & a11 = 1De<a a11a22 - a12a21 & -,a11a12 + a12a11 a21a22 - a22a21 & -,a21a12 + a22a11
Note que
a11a22 - a12a21 = De<a, -,a11a12 + a12a11 = 0,
a21a22 - a22a21 = 0, -,a21a12 + a22a11 = De<a
Logo
AB = 1De<a De<a & 0 0 & De<a = 1 & 0 0 & 1 = I2

Passo 4

Como A é quadrada, bastou encontrar uma matriz B tal que A B = I2 para concluir que B = A^-1. Portanto, sob a condição De<a neq 0, A é invertível e sua inversa é B.

Resposta

A^-1 = 1De<a a22 & -a12 -,a21 & a11 , De<a = a11a22 - a12a21 neq 0

Exercícios relacionados