Mostre que as matrizes abaixo não são diagonalizáveis
[ll1 & 1 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1
não é diagonalizável. Vamos usar a definição: A é diagonalizável se existir uma base de R^2 (ou C^2) formada por autovetores de A. Para isso, calculamos o polinômio característico, encontramos os autovalores e depois o espaço próprio de cada um.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = det1-lambda & 1 [4pt] 0 & 1-lambda = (1-lambda)^2
Do polinômio chiA(lambda)=(1-lambda)^2 vemos que o único autovalor é lambda=1, com multiplicidade algébrica igual a 2.]

Passo 3

Para encontrar o espaço próprio de lambda=1, resolvemos
(A - I)x = 0 Long<=ftrightarrow 0 & 1 [4pt] 0 & 0 x1 x2 = 00
Da primeira linha vem x2=0 e a segunda não impõe nova condição. Logo o espaço próprio é
E1 = (x1,0)^T : x1inR,
que tem dimensão 1. A multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1.]

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica ( 1) é menor que a multiplicidade algébrica ( 2), não há base de autovetores suficiente para diagonalizar A. Portanto, A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz
1 & 1 [4pt] 0 & 1
não é diagonalizável, pois seu único autovalor lambda=1 tem espaço próprio de dimensão 1, insuficiente para formar uma base de R^2.]

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