Mostre que as matrizes abaixo não são diagonalizáveis
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1
não é diagonalizável. Vamos usar a definição: A é diagonalizável se existir uma base de R^2 (ou C^2) formada por autovetores de A. Para isso, calculamos o polinômio característico, encontramos os autovalores e depois o espaço próprio de cada um.]
Da primeira linha vem x2=0 e a segunda não impõe nova condição. Logo o espaço próprio é
E1 = (x1,0)^T : x1inR,
que tem dimensão 1. A multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1.]
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2), não há base de autovetores suficiente para diagonalizar A. Portanto, A não é diagonalizável.
Resposta
A matriz
1 & 1 [4pt] 0 & 1
não é diagonalizável, pois seu único autovalor lambda=1 tem espaço próprio de dimensão 1, insuficiente para formar uma base de R^2.]