Mostre que as matrizes abaixo não são diagonalizáveis
[ccc10 & 11 & 3 -3 & -4 & -3 -8 & -8 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a matriz
A = 10 & 11 & 3 -3 & -4 & -3 -8 & -8 & -1
não é diagonalizável. Para isso vamos calcular os autovalores de A (polinômio característico) e comparar as multiplicidades algébricas com as dimensões dos correspondentes espaços próprios (multiplicidades geométricas).

Passo 2

Calcular o polinômio característico det(A - lambda I).
det(A - lambda I) =det 10-lambda & 11 & 3 -3 & -4-lambda & -3 -8 & -8 & -1-lambda = -lambda^3 +5lambda^2 +13lambda +7,
ou seja,
lambda^3 -5lambda^2 -13lambda -7 =0
Fatorando por tentativa de raízes inteiras, lambda=7 anula o polinômio e a divisão sintética dá
lambda^3 -5lambda^2 -13lambda -7 = (lambda -7)(lambda^2 +2lambda +1) = (lambda -7)(lambda +1)^2

Passo 3

Os autovalores de A são
lambda1 = 7(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2 = -1(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 4

Agora vemos o espaço próprio de
as equações resultam em
Daqui , então o espaço próprio é gerado por um único vetor (por exemplo ), logo a multiplicidade geométrica de é .

Passo 5

Como o autovalor lambda=-1 tem multiplicidade algébrica 2 mas seu espaço próprio é de dimensão 1 (multiplicidade geométrica menor que a algébrica), a matriz A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=-1 tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.

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