Mostre que as matrizes abaixo não são diagonalizáveis
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = 2 & 0 & 0 3 & 2 & 0 0 & 0 & 5
não é diagonalizável. O conteúdo de matéria é diagonalização de matrizes: precisamos calcular autovalores, suas multiplicidades algébrica e geométrica, e verificar se para cada autovalor a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) coincide com sua multiplicidade algébrica.
Passo 2
Vamos primeiro obter o polinômio característico de A. Como A é triangular, o determinante de A - lambda I é o produto dos elementos da diagonal de A - lambda I:
lambda1 = 2, com mu<iplicidade algébrica ma(2)=2, lambda2 = 5, ma(5)=1 é
Passo 4
Para calculamos o espaço próprio resolvendo . Temos
As equações são
logo , , e fica livre. Assim o espaço próprio de é
cuja dimensão (multiplicidade geométrica) é .
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2, não há autovetores suficientes para formar uma base de R^3 que diagonalize A. Portanto A não é diagonalizável.
Resposta
A matriz não é diagonalizável, pois para o autovalor lambda=2 temos ma(2)=2 mas multiplicidade geométrica =1.