Mostre que as matrizes abaixo não são diagonalizáveis
[llll2 & 3 & 3 & 5 3 & 2 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 3 & 3 & 5 3 & 2 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1
e pede para mostrar que ela não é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria de valores e vetores próprios e critérios de diagonalização, em particular comparar multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Observamos que A é em bloco triangular
A= M & N[6pt] 0 & T ,
onde
M=2&33&2, T=1&10&1
Em bloco triangular, o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de M e de T.
– Para M:
det(M-lambda I) =(2-lambda)^2-3cdot3 =(lambda-2)^2-9=0 ;Longrightarrow; lambda=2pm3, ie lambda1=5,;lambda2=-1
– Para T: sendo triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal, ambas iguais a 1, com multiplicidade algébrica 2.
Logo os autovalores de A são
5;(ma=1), -1;(ma=1), 1;(ma=2) ]

Passo 3

Verificamos brevemente as dimensões dos espaços próprios para e .
Para , o bloco é invertível, logo as componentes do vetor próprio em correspondentes a são zero, e sobra resolver
que dá , espaço próprio unidimensional. Isto coincide com .
Para , análogo: é invertível, e
leva a , espaço próprio unidimensional. Também coincide com .

Passo 4

Para , temos
O bloco não é invertível e satisfaz com dimensão de solução igual a (é um bloco de Jordan de tamanho 2). Já é invertível pois
então a parte do vetor próprio fica determinada unicamente por . Concluímos que o espaço próprio de em toda também é de dimensão .

Passo 5

Como para o autovalor temos multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica , não há base de formada por vetores próprios de . Portanto não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável porque para lambda=1 se tem ma(1)=2 e mg(1)=1.

Exercícios relacionados