e pede para mostrar que ela não é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria de valores e vetores próprios e critérios de diagonalização, em particular comparar multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor.
Passo 2
Observamos que A é em bloco triangular
A= M & N[6pt] 0 & T ,
onde
M=2&33&2, T=1&10&1
Em bloco triangular, o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de M e de T.
– Para T: sendo triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal, ambas iguais a 1, com multiplicidade algébrica 2.
Logo os autovalores de A são
5;(ma=1), -1;(ma=1), 1;(ma=2) ]
Passo 3
Verificamos brevemente as dimensões dos espaços próprios para e .
Para , o bloco é invertível, logo as componentes do vetor próprio em correspondentes a são zero, e sobra resolver
que dá , espaço próprio unidimensional. Isto coincide com .
Para , análogo: é invertível, e
leva a , espaço próprio unidimensional. Também coincide com .
Passo 4
Para , temos
O bloco não é invertível e satisfaz com dimensão de solução igual a (é um bloco de Jordan de tamanho 2). Já é invertível pois
então a parte do vetor próprio fica determinada unicamente por . Concluímos que o espaço próprio de em toda também é de dimensão .
Passo 5
Como para o autovalor temos multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica , não há base de formada por vetores próprios de . Portanto não é diagonalizável.
Resposta
A matriz não é diagonalizável porque para lambda=1 se tem ma(1)=2 e mg(1)=1.