Seja T: R^3 longrightarrow R^3 uma transformação linear cuja matriz em relação à base canônica alpha é [T]alpha^alpha=[ccc3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1]. Determinar, se possível, uma base beta de autovetores e a matriz de T em relação à base beta.

Passo 1

O enunciado dá TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica alpha é triangular superior
[T]alpha^alpha = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1
Queremos diagonalizar T: isto é, encontrar uma base beta de autovetores e a matriz de T em beta. Para isso vamos ( 1) achar os autovalores resolvendo o polinômio característico, ( 2) achar as respetivas autovetores e ( 3) montar beta e a matriz diagonal.

Passo 2

O polinômio característico de [T]alpha^alpha é
detl([T]alpha^alpha-lambda Ir) =(3-lambda)^2(-1-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1=3(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=-1(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 3

Para lambda=3 resolvemos
l([T]alpha^alpha-3Ir)v = 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 v=0
Dessa primeira equação vem v3=0 e as outras confirmam o mesmo. Logo
v=(v1,v2,0),
com v1,v2 livres, define um espaço próprio de dimensão 2. Podemos escolher dois vetores independentes:
v^(1)=(1,0,0), v^(2)=(0,1,0),
que satisfazem T(v^(1))=3v^(1) e T(v^(2))=3v^(2).

Passo 4

Para lambda=-1 resolvemos
l([T]alpha^alpha+Ir)v = 4 & 0 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 v=0
Da primeira linha 4v1-4v3=0Rightarrow v1=v3. Da segunda 4v2+5v3=0Rightarrow v2=-tfrac54v3. Tomando v3=1 obtemos
v^(3)=(1,-tfrac54,1)
Para evitar frações, podemos escalar por 4:
v^(3)=(4,-5,4),
que satisfaz T(v^(3))=-1cdot v^(3).

Passo 5

Como temos três autovetores independentemente, T é diagonalizável. Definimos a base de autovetores
beta=l,v^(1)=(1,0,0),;v^(2)=(0,1,0),;v^(3)=(4,-5,4)r

Passo 6

Na base beta, cada v^(i) é autovetor, logo a matriz de T em beta é diagonal com os autovalores na diagonal:
[T]beta^beta = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

A base de autovetores é
beta=(1,0,0),;(0,1,0),;(4,-5,4),
e
[T]beta^beta = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1

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