O operador linear definido por é diagonalizável? Verifique utilizando o polinômio minimal.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é diagonalizável, usando o polinômio minimal.
Conteúdo: teoria de diagonalização e polinômio minimal. Vamos calcular o polinômio característico para achar os autovalores e depois o polinômio minimal para checar se há fatores repetidos.
Passo 2
Escrevemos a matriz de na base canônica; ela é triangular superior:
Como é triangular, o polinômio característico é o produto dos termos da diagonal:
O polinômio minimal mT(lambda) é o menor polinômio que anula T. Ele tem a forma
mT(lambda)=(lambda-3)^a(lambda+1)^b
onde a é o tamanho máximo de bloco de Jordan associado a lambda=3 e b o de lambda=-1.
– Na parte (x,y) aparece um bloco 2times2 em lambda=3, logo a=2.
– Nas coordenadas z e t surgem blocos 1times1 em lambda=-1, logo b=1.
Assim
mT(lambda)=(lambda-3)^2(lambda+1)
Passo 4
Pelo critério de diagonalização, T é diagonalizável se e só se o polinômio minimal se fatorar em raízes simples (fatores lineares distintos). Aqui lambda=3 aparece com multiplicidade 2 em mT, então há fator repetido e Tnão é diagonalizável.
Resposta
Não, T não é diagonalizável.
O polinômio minimal é