O operador linear T: R^4 R^4 definido por T(x, y, z, t)=(3 x-4 y, 3 y+5 z,-z,-t) é diagonalizável? Verifique utilizando o polinômio minimal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
TcolonR^4toR^4, T(x,y,z,t)=(3x-4y,;3y+5z,;-z,;-t)
é diagonalizável, usando o polinômio minimal.
Conteúdo: teoria de diagonalização e polinômio minimal. Vamos calcular o polinômio característico para achar os autovalores e depois o polinômio minimal para checar se há fatores repetidos.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica; ela é triangular superior:
[T] = 3 & -4 & 0 & 0 [6pt] 0 & 3 & 5 & 0 [6pt] 0 & 0 & -1 & 0 [6pt] 0 & 0 & 0 & -1
Como é triangular, o polinômio característico é o produto dos termos da diagonal:
chiT(lambda) = det(T - lambda I) = (3 - lambda)^2 , (-1 - lambda)^2 = (lambda - 3)^2 (lambda + 1)^2 ]

Passo 3

O polinômio minimal mT(lambda) é o menor polinômio que anula T. Ele tem a forma
mT(lambda)=(lambda-3)^a(lambda+1)^b
onde a é o tamanho máximo de bloco de Jordan associado a lambda=3 e b o de lambda=-1.
– Na parte (x,y) aparece um bloco 2times2 em lambda=3, logo a=2.
– Nas coordenadas z e t surgem blocos 1times1 em lambda=-1, logo b=1.
Assim
mT(lambda)=(lambda-3)^2(lambda+1)

Passo 4

Pelo critério de diagonalização, T é diagonalizável se e só se o polinômio minimal se fatorar em raízes simples (fatores lineares distintos). Aqui lambda=3 aparece com multiplicidade 2 em mT, então há fator repetido e T não é diagonalizável.

Resposta

Não, T não é diagonalizável.
O polinômio minimal é
mT(lambda)=(lambda-3)^2(lambda+1)

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