Mostre que as matrizes abaixo são linearmente dependentes:
[ll 1 & 1 0 & 1 ],[cc 1 & -1 1 & 0 ],[cc 1 & 5 -2 & 3 ]

Passo 1

O enunciado nos dá três matrizes em M2times2(R):
A=1&10&1, B=1&-11&0, C=1&5-2&3,
e pede para mostrar que elas são linearmente dependentes.
Conteúdo: definição de dependência linear num espaço vetorial, aqui M2times2(R). Precisamos encontrar escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha A + beta B + gamma C = 02times2

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica e igualamos à matriz nula:
alpha1&10&1 +beta1&-11&0 +gamma1&5-2&3 =0&00&0
Isso gera um sistema de quatro equações, uma para cada entrada:
(1,1): alpha + beta + gamma = 0
(1,2): alpha - beta + 5gamma = 0
(2,1): 0cdotalpha + 1cdotbeta -2gamma = 0
(2,2): alpha + 0cdotbeta +3gamma = 0

Passo 3

Das equações de (2,1) e (2,2) temos diretamente
beta - 2gamma = 0Longrightarrow beta = 2gamma,
alpha + 3gamma = 0Longrightarrow alpha = -3gamma

Passo 4

Substituindo alpha=-3gamma e beta=2gamma nas equações (1,1) e (1,2):
(-3gamma)+(2gamma)+gamma = 0, (-3gamma)-(2gamma)+5gamma = 0,
ambas se reduzem a 0=0, logo consistentes para todo valor de gamma. Escolhendo por exemplo gamma=1, obtemos
alpha=-3, beta=2, gamma=1,
e portanto
-3A + 2B + 1,C = 02times2

Resposta

As matrizes são linearmente dependentes pois
-31&10&1 +21&-11&0 +1&5-2&3 =0&00&0

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