Sejam u=(1,3,1) e v=(1,-1,-1). Determine um vetor w de forma que u, v, w seja uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(1,3,1) e v=(1,-1,-1) em R^3 e pede um vetor w tal que u,v,w seja base de R^3. Isto significa encontrar w que, junto com u e v, seja linearmente independente. Em R^3, um jeito eficiente de garantir independência é escolher w fora do plano gerado por u e v.

Passo 2

Uma técnica padrão é usar o produto vetorial u times v, pois ele produz um vetor perpendicular a ambos u e v, logo não está no mesmo plano. Qualquer múltiplo não nulo de u times v serve como escolha para w.

Passo 3

Calculamos o produto vetorial:
u times v = e1 & e2 & e3 1 & 3 & 1 1 & -1 & -1 = l(3cdot(-1)-1cdot(-1),;-l(1cdot(-1)-1cdot1r),;1cdot(-1)-3cdot1r) = (-2,;2,;-4)
Para simplificar, podemos tomar
w = -tfrac12,(utimes v) = (1,-1,2)

Passo 4

Como utimes vneq(0,0,0), temos que w não está no span u,v. Logo u,v,w é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3, ou seja, uma base.

Resposta

Um possível vetor é
w = (1,-1,2)

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