São dados três pontos e entre e . Sejam e os pontos médios de e respectivamente. Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos na reta: A , C e B , com C no meio de A e B . Além disso, M é o ponto médio de AB e N é o ponto médio de BC . Nosso objetivo aqui é mostrar que o comprimento do segmento MN é igual a (AB - BC) / 2 .
Aqui, estamos trabalhando com geometria, mais especificamente com conceitos de segmentos de reta e pontos médios. Vamos precisar entender como calcular pontos médios e usar propriedades básicas de segmentos na reta para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que M e N são pontos médios, ou seja, eles dividem os segmentos em duas partes iguais. Então, a distância de A até M é igual à de M até B , e a distância de B até N é igual à de N até C .
Matematicamente, isso significa:
AM = MB = AB2
BN = NC = BC2
Passo 3
Agora, vamos expressar a posição dos pontos na reta para facilitar os cálculos. Vamos assumir que A está na posição 0, C na posição c e B na posição b . Como C está entre A e B , temos que 0 < c < b .
Então, podemos encontrar as posições de M e N :
M = A + B2 = 0 + b2 = b2
N = B + C2 = b + c2
Passo 4
Agora que temos as posições de M e N , vamos calcular o comprimento de MN . A distância entre dois pontos na reta é a diferença absoluta de suas posições.
Então:
MN = |N - M| = | b + c2 - b2 | = | b + c - b2 | = | c2 | = c2
Passo 5
Agora, vamos expressar c em termos de AB e BC . Sabemos que:
AB = b - 0 = b
BC = b - c
Queremos expressar c da equação MN = c2 em termos de AB e BC .