(2,0 pts) 02- Determine a condição necessária e suficiente para que a expressão a1 x^2+b1 x+c1a2 x^2+b2 x+c2 em que a1, b1, c1, a2, b2, c2 são reais não nulos, assuma um valor que não depende de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. No caso, a expressão é:
a1 x^2 + b1 x + c1a2 x^2 + b2 x + c2
O problema pede pra gente descobrir quais condições os coeficientes a1, b1, c1, a2, b2, c2 precisam satisfazer para que essa expressão seja sempre igual a um valor fixo, ou seja, que não dependa de x. Isso tá dentro da matéria de funções racionais e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar: quando uma fração assim não muda quando a gente varia x? Isso só acontece se o numerador for múltiplo exato do denominador. Ou seja, tem que existir um número constante k tal que:
a1 x^2 + b1 x + c1 = k (a2 x^2 + b2 x + c2)

Passo 3

Agora, vamos expandir a equação:
a1 x^2 + b1 x + c1 = k a2 x^2 + k b2 x + k c2
Isso quer dizer que os coeficientes dos termos iguais em ambos os lados da equação devem ser iguais. Ou seja:
  • Para x^2: a1 = k a2
  • Para x: b1 = k b2
  • Para o termo constante: c1 = k c2

Passo 4

A partir dessas três equações, a gente consegue ver que o k deve ser o mesmo para todos os termos. Então, podemos escrever:
a1a2 = b1b2 = c1c2
Isso significa que os coeficientes correspondentes no numerador e denominador precisam estar na mesma proporção.

Resposta

A condição necessária e suficiente é que
a1a2 = b1b2 = c1c2

Exercícios relacionados