(2,0 pts) 02- Determine a condição necessária e suficiente para que a expressão
em que
são reais não nulos, assuma um valor que não depende de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão racional, que é basicamente uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. No caso, a expressão é:
O problema pede pra gente descobrir quais condições os coeficientes
precisam satisfazer para que essa expressão seja sempre igual a um valor fixo, ou seja, que não dependa de
. Isso tá dentro da matéria de funções racionais e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar: quando uma fração assim não muda quando a gente varia
? Isso só acontece se o numerador for múltiplo exato do denominador. Ou seja, tem que existir um número constante
tal que:
Passo 3
Agora, vamos expandir a equação:
Isso quer dizer que os coeficientes dos termos iguais em ambos os lados da equação devem ser iguais. Ou seja:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 4
A partir dessas três equações, a gente consegue ver que o
deve ser o mesmo para todos os termos. Então, podemos escrever:
Isso significa que os coeficientes correspondentes no numerador e denominador precisam estar na mesma proporção.
Resposta
A condição necessária e suficiente é que