Seja
A=[lll 1 & 3 & 1 0 & 1 & 2 0 & 4 & 3 ]
Encontre todos os autovetores de A linearmente independente associados aos autovalores.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisa encontrar todos os autovetores dela que são linearmente independentes e estão associados aos seus autovalores. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, usamos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 3 & 1 0 & 1 - lambda & 2 0 & 4 & 3 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 2 4 & 3 - lambda
Calculando o determinante da matriz 2 times 2 :
det 1 - lambda & 2 4 & 3 - lambda = (1 - lambda)(3 - lambda) - 8 = lambda^2 -4lambda -5

Passo 5

Então, a equação característica fica:
lambda^2 - 4lambda - 5 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
lambda = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm 62
Isso nos dá dois autovalores:
lambda1 = 5 e lambda2 = -1

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com lambda1 = 5 .
Substituímos lambda = 5 na matriz A - lambda I :
A - 5I = -4 & 3 & 1 0 & -4 & 2 0 & 4 & -2

Passo 7

Resolvemos o sistema homogêneo [(A - 5I)v = 0):
Da segunda equação, temos .
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Então, os autovetores para lambda1 = 5 são múltiplos de:
v1 = 54 1 2

Passo 9

Agora, vamos para lambda2 = -1 .
Substituímos lambda = -1 na matriz A - lambda I :
A + I = 2 & 3 & 1 0 & 2 & 2 0 & 4 & 4

Passo 10

Resolvemos o sistema homogêneo [(A + I)v = 0):
Da segunda equação, temos (y + z = 0 \Rightarrow z = -y].
Substituindo na primeira equação:

Passo 11

Então, os autovetores para lambda2 = -1 são múltiplos de:
v2 = -1 1 -1

Resposta

Os autovetores linearmente independentes de A são:
v1 = 54 1 2 associado ao autovalor lambda1 = 5
v2 = -1 1 -1 associado ao autovalor lambda2 = -1

Exercícios relacionados