Seja
A=[lll 1 & 3 & 1 0 & 1 & 2 0 & 4 & 3 ]
A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que A=P D P^-1, com D diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisamos descobrir se ela é diagonalizável. Se for, vamos encontrar uma matriz P tal que A = P D P^-1 , onde D é uma matriz diagonal. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são valores lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A . Isso significa que vamos calcular o determinante da matriz A - lambda I e resolver para lambda .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 3 & 1 0 & 1 - lambda & 2 0 & 4 & 3 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 2 4 & 3 - lambda - 3 cdot det 0 & 2 0 & 3 - lambda + 1 cdot det 0 & 1 - lambda 0 & 4
Simplificando os determinantes menores:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(1 - lambda)(3 - lambda) - 8] - 3 cdot [0 - 0] + 1 cdot [0 - 0] = 0
Expandindo:
(1 - lambda) cdot [(1 - lambda)(3 - lambda) - 8] = 0
Distribuindo:
(1 - lambda)[3 - lambda - 3lambda + lambda^2 - 8] = (1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda - 5) = 0
Resolvendo a equação:
(1 - lambda)(lambda^2 - 4lambda - 5) = 0
Então, os autovalores são lambda = 1 e as raízes da equação quadrática lambda^2 - 4lambda - 5 = 0 . Resolvendo a quadrática:
lambda = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Portanto, lambda = 5 e lambda = -1 .

Passo 4

Agora que temos os autovalores lambda = 1 , lambda = 5 e lambda = -1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda = 1 :
A - I = 0 & 3 & 1 0 & 0 & 2 0 & 4 & 2
Resolvendo (A - I)v = 0 , obtemos o autovetor v1 = 1 0 0 .
Para lambda = 5 :
A - 5I = -4 & 3 & 1 0 & -4 & 2 0 & 4 & -2
Resolvendo (A - 5I)v = 0 , obtemos o autovetor v2 = 1 1 2 .
Para lambda = -1 :
A + I = 2 & 3 & 1 0 & 2 & 2 0 & 4 & 4
Resolvendo (A + I)v = 0 , obtemos o autovetor v3 = -1 1 0 .

Passo 5

Com os autovalores e seus respectivos autovetores em mãos, podemos construir a matriz P com os autovetores como colunas e a matriz D com os autovalores na diagonal:
P = 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 0 , D = 1 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

Sim, a matriz A é diagonalizável. As matrizes P e D que satisfazem A = P D P^-1 são:
P = 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 0 , D = 1 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & -1

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