A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que A=P D P^-1, com D diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisamos descobrir se ela é diagonalizável. Se for, vamos encontrar uma matriz P tal que A = P D P^-1 , onde D é uma matriz diagonal. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Os autovalores são valores lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A . Isso significa que vamos calcular o determinante da matriz A - lambda I e resolver para lambda .
Agora que temos os autovalores lambda = 1 , lambda = 5 e lambda = -1 , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda = 1 :
A - I = 0 & 3 & 1 0 & 0 & 2 0 & 4 & 2
Resolvendo (A - I)v = 0 , obtemos o autovetor v1 = 1 0 0 .
Para lambda = 5 :
A - 5I = -4 & 3 & 1 0 & -4 & 2 0 & 4 & -2
Resolvendo (A - 5I)v = 0 , obtemos o autovetor v2 = 1 1 2 .
Para lambda = -1 :
A + I = 2 & 3 & 1 0 & 2 & 2 0 & 4 & 4
Resolvendo (A + I)v = 0 , obtemos o autovetor v3 = -1 1 0 .
Passo 5
Com os autovalores e seus respectivos autovetores em mãos, podemos construir a matriz P com os autovetores como colunas e a matriz D com os autovalores na diagonal: