Verifique que as seguintes funções não são tranformações lineares:
G: R^2 R^2 dada por G(x, y)=x y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
Gcolon R^2 to R^2
definida por
G(x,y)=x,y
não é uma transformação linear.
Conteúdo usado: para ser linear, uma aplicação G deve satisfazer para todo u,vinR^2 e todo escalar alphainR:
  1. Aditividade: G(u+v)=G(u)+G(v).
  2. Homogeneidade: G(alpha u)=alpha,G(u).

Passo 2

Vamos testar a aditividade. Seja
u=(1,0), v=(0,1)
Então
u+v=(1,1),
e
G(u+v)=G(1,1)=1cdot 1=1
Por outro lado,
G(u)=G(1,0)=1cdot 0=0, G(v)=G(0,1)=0cdot 1=0,
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G(u)+G(v)=0+0=0

Passo 3

Como
G(u+v)=1 neq 0=G(u)+G(v),
a propriedade de aditividade falha. Basta uma propriedade quebrada para concluir que G não é linear.

Resposta

A função G(x,y)=x,y não é transformação linear porque não satisfaz a condição de aditividade.

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