Sejam A, B e C matrizes n times n.
a) (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 ? E se A B=B A ? Justifique
b) (A B) C=C(A B) ? E se A C=C A e B C=C B ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as identidades matriciais abaixo valem em geral e, em seguida, se passam a valer quando algumas matrizes comutam. Isso envolve o fato de que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Passo 2

Para a alínea (a) expandimos diretamente
(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A,A + A,B + B,A + B,B = A^2 + AB + BA + B^2

Passo 3

Em geral ABneq BA, logo
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 neq A^2 + 2AB + B^2
No caso especial em que AB = BA, temos AB + BA = 2AB e assim
(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

Passo 4

Para a alínea (b) com três matrizes,
(AB)C = A,(BC) e C,(AB) = (CA),B
Em geral não há razão para BC = CB nem para CA = AC, então (AB)Cneq C(AB) em geral.

Passo 5

Supondo agora que AC = CA e BC = CB, calculamos:
(AB)C = A,(B,C) = A,(C,B) = (A,C),B = (C,A),B = C,(A,B)
Logo, sob essas hipóteses, vale
(AB)C = C(AB)

Resposta

a) Em geral não. Temos (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2, e só se AB=BA é que isso se reduz a A^2 + 2AB + B^2.
b) Em geral não. Mas se AC=CA e BC=CB, então (AB)C = C(AB).

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