Mostre por meio de um exemplo que lim x a[f(x)+g(x)] pode existir mesmo que nem lim x a f(x) nem lim x a g(x) existam.

Passo 1

O enunciado quer um exemplo que ilustre funções f e g tais que limxto a[f(x)+g(x)] existe, mesmo que nem limxto af(x) nem limxto ag(x) existam. O tema é limite de funções, e vamos precisar usar a definição de limite e um exemplo clássico de função que oscila entre dois valores sem convergir.

Passo 2

Considere as funções definidas em todo
e
Elas oscilam de acordo com a racionalidade de (x].

Passo 3

Mostramos que limxto af(x) não existe para qualquer a. Tome duas sequências (xn) racionais e (yn) irracionais que convergem a a. Então
f(xn)=0e f(yn)=1,
o que impede a existência de um único valor-limite.

Passo 4

De modo análogo, g(x)= -f(x) também não tem limite em xto a, pois sobre as mesmas sequências teremos
g(xn)=0e g(yn)=-1,
o que mostra a inexistência de limxto ag(x).

Passo 5

Por fim, note que para todo x
f(x)+g(x)=f(x)-f(x)=0
Isso significa que f+g é a função constante zero, cuja limitação em xto a existe e vale
limxto a[f(x)+g(x)]=0

Resposta

Um exemplo é
definir
f(x)=1,&x irracional,0,&x racional, g(x)=-f(x)
Então nem limxto af(x) nem limxto ag(x) existem, mas
f(x)+g(x)=0 para todo x, fazendo
limxto a[f(x)+g(x)]=0

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