Mostre por meio de um exemplo que
pode existir mesmo que nem
nem
existam.
Passo 1
O enunciado quer um exemplo que ilustre funções f e g tais que
existe, mesmo que nem
nem
existam. O tema é limite de funções, e vamos precisar usar a definição de limite e um exemplo clássico de função que oscila entre dois valores sem convergir.
Passo 2
Considere as funções definidas em todo
e
Elas oscilam de acordo com a racionalidade de (x].
Passo 3
Mostramos que
não existe para qualquer
. Tome duas sequências
racionais e
irracionais que convergem a
. Então
o que impede a existência de um único valor-limite.
Passo 4
De modo análogo,
também não tem limite em
, pois sobre as mesmas sequências teremos
o que mostra a inexistência de
.
Passo 5
Por fim, note que para todo
Isso significa que
é a função constante zero, cuja limitação em
existe e vale
Resposta
Um exemplo é
definir
definir
Então nem
nem
existem, mas
para todo
, fazendo