Seja C parte da curva interseção das superfícies x^2+y^2+z^2==R^2 e x^2+y^2=R^24, com R>0, situada no primeiro octante. Determine o valor de R de modo que integralC x y z d s=81 raiz32.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de R>0 tal que a integral de linha integralC x y z,ds valha tfrac81raiz32, sendo C a parte da curva de interseção da esfera x^2+y^2+z^2=R^2 com o cilindro x^2+y^2=R^2/4 no primeiro octante. O conteúdo envolvido é integral de linha de função escalar, e vamos precisar parametrizar essa curva.

Passo 2

Para parametrizar C, note que na interseção temos x^2+y^2=R^2/4 e z^2=R^2 - R^2/4=3R^2/4. No primeiro octante escolhemos z=+tfracraiz3,R2 e dados x>=0,y>=0, definimos
x(t)=R2cos t, y(t)=R2sin t, z(t)=raiz3,R2, tin[0,tfracpi2]

Passo 3

Calculamos o elemento de arco ds e montamos a integral. Como
dxdt=-R2sin t, dydt=R2cos t, dzdt=0,
temos
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt=R2,dt
Além disso
x(t)y(t)z(t)=l(R2r)^2(cos tsin t)cdotraiz3,R2=raiz3,R^38cos tsin t

Passo 4

Logo a integral fica
integral0^pi/2x y z,ds=integral0^pi/2raiz3,R^38cos tsin tcdotR2,dt=raiz3,R^416integral0^pi/2cos tsin t,dt

Passo 5

Como integral0^pi/2cos tsin t,dt=tfrac12, obtemos
integralC x y z,ds=raiz3,R^416cdot12=raiz3,R^432

Passo 6

Para que isso seja tfrac81raiz32, igualamos
raiz3,R^432=81raiz32implies R^4=16cdot81=6^4,
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R=6

Resposta

R=6

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