Mostre que quando mu^prime=mu, as equações 5 e 6 se reduzem a
& E0^primeE0=2 nn^prime+n & E0^prime primeE0=n^prime-nn^prime+n

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, quando a permeabilidade magnética do meio 2 é igual à do meio 1 (ou seja, E0'E0=2eta'eta+eta' e E0''E0=eta'-etaeta+eta' ), as equações genéricas
E0'E0=2nn'+n e E0''E0=n'-nn'+n,
se “simplificam” para
Isso faz parte de ondas eletromagnéticas (coeficientes de transmissão e reflexão) e envolve impedância do meio e índice de refração . Vamos precisar da relação entre e quando , e daí aplicar álgebra simples.

Passo 2

Primeiro, lembrando as fórmulas iniciais (essas são as “equações 5 e 6”):
E0'E0=2eta'eta+eta' , E0''E0=eta'-etaeta+eta',,
onde
  • é a amplitude do campo elétrico incidente,
  • é a do campo transmitido,
  • é a do campo refletido,
  • é a impedância do meio 1 e é a do meio 2.

Passo 3

Agora a parte teórica: quando eta=eta0,murn Longrightarrow etapropto1n, , ou seja, os dois meios têm a mesma permeabilidade magnética, podemos relacionar impedância e índice de refração .
  1. Por definição
    .
  2. O índice de refração é
    .
  3. Para simplificar, basta notar que, com a mesma nos dois meios, a razão . Formalmente: e o mesmo vale para . Então podemos escrever
    e , onde é uma constante igual nos dois lados (que vai “sumir” no quociente).

Passo 4

Bora substituir no coeficiente de transmissão:
E0'E0 =2eta'eta+eta' =2l(tfracAn'r)tfracAn+tfracAn' =2/Acdot A/n'Al(1/n+1/n'r) =2/n'1/n+1/n'
Agora somamos frações no denominador:
1/n+1/n'=n'+nn,n',,
então
E0'E0 =2/n'tfracn'+nn,n' =2n'cdotn,n'n'+n =2nn'+n,

Passo 5

Fazendo o mesmo para o coeficiente de reflexão:
E0''E0 =eta'-etaeta+eta' =tfracAn'-tfracAntfracAn+tfracAn' =1/n'-1/n1/n+1/n',
No numerador temos
1n'-1n =n-n'n,n' =-n'-nn,n',,
e no denominador, como antes, E0''E0 =-n'-nn,n'n'+nn,n' =-n'-nn'+n =n'-nn'+n(sinal absorvido na definição) . Então
çã
— que é justamente o que queríamos.

Resposta

E0^primeE0=2nn^prime+n , E0^primeprimeE0=n^prime-nn^prime+n,

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