Seja S3 o grupo das permutações dos 3 elementos x1, x2 e x3. Considere as funções phi e psi dadas por phi=[lllx1 & x2 & x3 x2 & x1 & x3] e psi=[lllx1 & x2 & x3 x2 & x3 & x1]. Mostre que
psi^3=e

Passo 1

O enunciado pertence à teoria de grupos finitos e trata de permutações em S3. Precisamos usar composição de permutações e notação de ciclos para calcular potências de psi e mostrar que psi^3=e, onde e é a permutação identidade.

Passo 2

Primeiro escrevemos psi em notação de ciclos. Pela definição
psi(x1)=x2, psi(x2)=x3, psi(x3)=x1,
logo em ciclo único
psi=(x1;x2;x3)

Passo 3

Agora calculamos psi^2=psicircpsi. Aplicando duas vezes:
psi^2(x1)=psi(psi(x1))=psi(x2)=x3,
psi^2(x2)=psi(psi(x2))=psi(x3)=x1,
psi^2(x3)=psi(psi(x3))=psi(x1)=x2
Em notação de ciclos, isso dá
psi^2=(x1;x3;x2),
que é de fato (x1;x2;x3)^2.

Passo 4

Finalmente, psi^3=psi^2circpsi. Aplicando ao genérico xi:
psi^3(xi)=psil(psi^2(xi)r)=xi para i=1,2,3
Isso mostra que psi^3 envia cada elemento em si mesmo, ou seja,
psi^3=e

Resposta

psi^3=e

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