Um sistema que vibra tem as seguintes condições iniciais: x=0 \mathrm{e} \dot{x}=v_{0}. Determine a equação de movimento quando a) \zeta=2; b) \zeta=1; e c) \zeta=0.5. Faça um único gráfico em Python com cada uma dessas condições, tal que o eixo das abcissas seja \frac{x \omega_{n}}{v_{0}} e o eixo das ordenadas, \omega_{n} t.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola-amortecedor com razão de amortecimento \zeta e frequência natural \omega_n, sujeita às condições iniciais
x(0)=0,\quad \dot x(0)=v_0.
Precisamos encontrar x(t) para três casos de \zeta:
a) \zeta=2 (sobreamortecido),
b) \zeta=1 (criticamente amortecido) e
c) \zeta=0.5 (subamortecido).
Em seguida, faremos um único gráfico em Python do deslocamento normalizado
X(\tau)=\frac{x(t)\,\omega_n}{v_0}
versus o tempo normalizado
\tau=\omega_n\,t.

Passo 2

A equação diferencial é
\ddot x + 2\zeta\omega_n\dot x + \omega_n^2 x = 0.
Da teoria de sistemas de 2º ordem homogêneos temos:
  1. Se \zeta>1, raízes reais r_{1,2}=-\omega_n\bigl(\zeta\mp\sqrt{\zeta^2-1}\bigr) e
x(t)=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}.
  1. Se \zeta=1, raiz dupla r=-\omega_n e
x(t)=(A+Bt)e^{-\omega_n t}.
  1. Se 0\le\zeta<1, raízes complexas r=-\zeta\omega_n\pm i\omega_d com \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} e
x(t)=\frac{v_0}{\omega_d}e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t).
Aplicando x(0)=0 e \dot x(0)=v_0 obtemos as constantes e as formas normalizadas abaixo.

Passo 3

Caso \zeta=2 (sobreamortecido):
\sqrt{\zeta^2-1}=\sqrt{4-1}=\sqrt3, \quad r_{1,2}=-\omega_n\bigl(2\mp\sqrt3\bigr).
A solução particular com as condições iniciais é
x(t) =\frac{v_0}{r_1-r_2}\Bigl(e^{r_1 t}-e^{r_2 t}\Bigr)
e o deslocamento normalizado fica
X(\tau) =\frac{x(t)\,\omega_n}{v_0} =\frac{1}{2\sqrt3}\Bigl[e^{-(2-\sqrt3)\,\tau}-e^{-(2+\sqrt3)\,\tau}\Bigr].

Passo 4

Caso \zeta=1 (criticamente amortecido):
x(t)=v_0\,t\,e^{-\omega_n t},
logo
X(\tau) =\frac{x(t)\,\omega_n}{v_0} =\tau\,e^{-\tau}.

Passo 5

Caso \zeta=0.5 (subamortecido):
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-0.5^2}=\omega_n\frac{\sqrt3}{2}, \quad x(t)=\frac{v_0}{\omega_d}e^{-0.5\,\omega_n t}\sin(\omega_d t).
Normalizando:
X(\tau) =\frac{\omega_n}{\omega_d}e^{-0.5\,\tau}\sin\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\,\tau\Bigr) =\frac{1}{0.866}\,e^{-0.5\,\tau}\sin\!\Bigl(0.866\,\tau\Bigr).

Passo 6

Segue um script em Python usando matplotlib para plotar as três curvas em um único gráfico, com abscissa \tau=\omega_n t e ordenada X(\tau)=x\omega_n/v_0:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# domínio em tau = \(omega_n\) * t
tau = np.linspace(0, 8, 400)

# zetas
zetas = [2.0, 1.0, 0.5]
labels = ['ζ=2 (sobreamort.)', 'ζ=1 (crítico)', 'ζ=0.5 (subamort.)']
X = []

# caso ζ>1
z \(=2.0\)
r\(1=\) -(z - np.sqrt(z**2 - 1))
r\(2=\) -(z + np.sqrt(z**2 - 1))
X.append((1/(2*np.sqrt(z**2-1))) * (np.exp(r1*tau) - np.exp(r2*tau)))

# caso \(\zeta=1\)
X.append(tau * np.exp(-tau))

# caso ζ<1
z \(=0.5 omega_d\) = np.sqrt(1 - z**2)
X.append((1/\(omega_d\)) * np.exp(-z*tau) * np.sin(\(omega_d\)*tau))

# plot
plt.figure(figsize=(8,5))
for Xi, lab in zip(X, labels):
 plt.plot(tau, Xi, labe\(l=l\)ab)
plt.xlabel(r'\(\tau=\omega_n t\)')
plt.ylabel(r'\(X(\tau)=\displaystyle\frac{x\,\omega_n}{v_0}\)')
plt.title('Resposta livre amortecida para diferentes ζ')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Resposta

a) Para \zeta=2:
X(\tau) =\frac{1}{2\sqrt3}\Bigl[e^{-(2-\sqrt3)\tau}-e^{-(2+\sqrt3)\tau}\Bigr].
b) Para \zeta=1:
X(\tau)=\tau\,e^{-\tau}.
c) Para \zeta=0.5:
X(\tau) =\frac{1}{\sqrt{1-0.5^2}}\;e^{-0.5\,\tau}\, \sin\!\bigl(\sqrt{1-0.5^2}\,\tau\bigr) =\frac{1}{0.866}\,e^{-0.5\tau}\sin(0.866\,\tau).

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