Mostre que
n!>3^{n}, se n \geq 7;

Passo 1

O enunciado pede para provar que
n! > 3^n\quad\text{para todo inteiro }n\ge7.
O conteúdo utilizado será o princípio da indução finita: verificamos a base e depois mostramos que, se vale para um n, vale para n+1.

Passo 2

(Base da indução) Vamos checar n=7:
7! = 5040, \qquad 3^7 = 2187,
e de fato 5040 > 2187. Logo a propriedade vale para n=7.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum k\ge7 valha
k! > 3^k.

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
(k+1)! > 3^{\,k+1}.
Partimos de
(k+1)! = (k+1)\cdot k! \;>\; (k+1)\cdot 3^k
pela hipótese de indução. Como k\ge7 temos k+1\ge8>3, portanto
(k+1)\cdot 3^k > 3\cdot 3^k = 3^{\,k+1}.
Assim concluímos (k+1)!>3^{\,k+1}.

Resposta

Para todo inteiro n\ge7, vale n!>3^n.

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