Mostre que
, se
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que
O conteúdo utilizado será o princípio da indução finita: verificamos a base e depois mostramos que, se vale para um
, vale para
.
Passo 2
(Base da indução) Vamos checar
:
e de fato
. Logo a propriedade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
valha
Passo 4
(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
Partimos de
pela hipótese de indução. Como
temos
, portanto
Assim concluímos
.
Resposta
Para todo inteiro
, vale
.