Prove que, para todo
natural, vale a desigualdade:
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para todo natural
, vale
O conteúdo principal aqui é prova por indução em desigualdades envolvendo produtos de termos. Vamos usar o princípio da indução matemática.
Passo 2
(Caso base
).
Para o produto à esquerda é
Para
e a direita é
Logo
o que confirma a desigualdade para
.
Passo 3
(Hipótese de indução).
Suponha que, para algum , já seja válida
Suponha que, para algum
Passo 4
(Passo de indução).
Queremos provar , isto é,
Queremos provar
Usando a hipótese
, basta mostrar
Passo 5
Isolando os termos positivos e elevando ao quadrado, esta desigualdade é equivalente a
Passo 6
(Verificação numérica).
Expansão de cada lado:
Expansão de cada lado:
Comparando, vemos
o que é verdadeiro para todo
. Assim
está comprovada.
Resposta
A desigualdade
vale para todo
natural.