Mostre que
n!>4^{n}, se n \geq 9.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n\ge9, vale a desigualdade
n! > 4^n.
O conteúdo que vamos usar é crescimento de fatorial em comparação a exponencial e o método de indução matemática.

Passo 2

Verificamos o caso base n=9:
9! = 362880,
4^9 = 262144,
e realmente 362880 > 262144. Logo, a propriedade vale para n=9.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum n\ge9, temos
n! > 4^n.

Passo 4

Analisamos o caso n+1:
(n+1)! = (n+1)\,n! > (n+1)\,4^n.
Como n\ge9 implica n+1\ge10, segue n+1>4. Então
(n+1)\,4^n > 4\cdot4^n = 4^{\,n+1}.
Logo (n+1)!>4^{\,n+1}, completando o passo de indução.

Passo 5

Pelo princípio da indução, a desigualdade n!>4^n vale para todo inteiro n\ge9.

Resposta

Mostramos que, para todo n\ge9,
n! > 4^n.

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