Mostre que
, se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro
, vale a desigualdade
O conteúdo que vamos usar é crescimento de fatorial em comparação a exponencial e o método de indução matemática.
Passo 2
Verificamos o caso base
:
e realmente
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, temos
Passo 4
Analisamos o caso
:
Como
implica
, segue
. Então
Logo
, completando o passo de indução.
Passo 5
Pelo princípio da indução, a desigualdade
vale para todo inteiro
.
Resposta
Mostramos que, para todo
,