Mostre que
Se
é invertível, então
também é invertível.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz quadrada
de tamanho
é invertível, então a sua transposta
também é invertível.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
-
é uma matriz quadrada . -
é invertível, isto é, existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade
.
O que se deve provar: mostrar que existe uma matriz (explicitá-la) que seja a inversa de , ou seja, encontrar uma matriz
tal que
O que se deve provar: mostrar que existe uma matriz (explicitá-la) que seja a inversa de
Passo 2
Definição e propriedade básica da transposta (explicação didática).
Se é uma matriz
, a transposta
é a matriz cujos elementos são trocados de linha por coluna; isto é, o elemento na linha
e coluna
de
é
. Em símbolos:
Se
Propriedades simples que vamos usar e que são fáceis de entender:
- A transposta da identidade é a própria identidade:
porque a identidade tem
s na diagonal e
s fora dela, trocar linhas por colunas não altera isso.
- Fazer transposta duas vezes devolve a matriz original:
Essas são coisas óbvias se você imaginar a tabela de elementos e trocar linhas/colunas.
Passo 3
Definição e unicidade do inverso (porque é útil saber que há uma única inversa).
Uma matriz é invertível se existe
tal que
Uma matriz
Se existissem duas matrizes
e
que fossem ambas inversas de
, então
. Ou seja, a inversa é única. Essa observação garante que, se encontrarmos uma candidata que seja simultaneamente inversa à direita e à esquerda de
, ela é a inversa única.
Passo 4
Propriedade do transposto do produto (ferramenta chave).
A propriedade que vamos usar é a seguinte: para matrizes compatíveis e
,
A propriedade que vamos usar é a seguinte: para matrizes compatíveis
Explicação elementar dessa propriedade: o elemento
vale
. Então o elemento
. Mas esse último é exatamente o elemento
, porque
e
. Portanto
.
Esse é um resultado padrão e muito útil: transpor inverte a ordem do produto.
Esse é um resultado padrão e muito útil: transpor inverte a ordem do produto.
Passo 5
Aplicação prática: transpondo a relação de invertibilidade de
.
Como é invertível, existe
tal que
Como
Agora tomamos a transposta dos dois lados dessa igualdade. Usando a propriedade do Passo 4 e
, obtemos
Isso mostra que
é uma inversa à direita de
. Faça a mesma coisa com a outra igualdade
:
Isto mostra que
também é inversa à esquerda de
. Como
é quadrada, ter inversa à esquerda e à direita simultaneamente significa que
é a inversa de
. Pela unicidade da inversa (Passo 3), concluímos que a inversa de
é exatamente
. Assim
é invertível.
Passo 6
Ilustração numérica curta (exemplo concreto para fixar a ideia).
Pegue
Pegue
Temos
, então
é invertível. A inversa é
A transposta é
Tomando a transposta de
obtemos
e conferimos que
Isso bate com a conclusão teórica: a transposta de
é invertível e sua inversa é
.]