Mostre que
Se A_{(n \times n)} é invertível, então A^{T} também é invertível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz quadrada A de tamanho n\times n é invertível, então a sua transposta A^{T} também é invertível.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • A é uma matriz quadrada n\times n.
  • A é invertível, isto é, existe uma matriz A^{-1} tal que
A A^{-1} = A^{-1} A = I,
onde I é a matriz identidade n\times n.
O que se deve provar: mostrar que existe uma matriz (explicitá-la) que seja a inversa de A^{T}, ou seja, encontrar uma matriz B tal que
A^{T} B = B A^{T} = I.

Passo 2

Definição e propriedade básica da transposta (explicação didática).
Se A=(a_{ij}) é uma matriz n\times n, a transposta A^{T} é a matriz cujos elementos são trocados de linha por coluna; isto é, o elemento na linha i e coluna j de A^{T} é a_{ji}. Em símbolos:
(A^{T})_{ij} = a_{ji}.
Propriedades simples que vamos usar e que são fáceis de entender:
  • A transposta da identidade é a própria identidade:
I^{T}=I,
porque a identidade tem 1s na diagonal e 0s fora dela, trocar linhas por colunas não altera isso.
  • Fazer transposta duas vezes devolve a matriz original:
(A^{T})^{T}=A.
Essas são coisas óbvias se você imaginar a tabela de elementos e trocar linhas/colunas.

Passo 3

Definição e unicidade do inverso (porque é útil saber que há uma única inversa).
Uma matriz A é invertível se existe A^{-1} tal que
A A^{-1} = A^{-1} A = I.
Se existissem duas matrizes B e C que fossem ambas inversas de A, então B = B I = B(AC) = (BA)C = I C = C. Ou seja, a inversa é única. Essa observação garante que, se encontrarmos uma candidata que seja simultaneamente inversa à direita e à esquerda de A^{T}, ela é a inversa única.

Passo 4

Propriedade do transposto do produto (ferramenta chave).
A propriedade que vamos usar é a seguinte: para matrizes compatíveis X e Y,
(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}.
Explicação elementar dessa propriedade: o elemento (XY)_{ij} vale \sum_{k} X_{ik}Y_{kj}. Então o elemento ((XY)^{T})_{ij} = (XY)_{ji} = \sum_{k} X_{jk}Y_{ki}. Mas esse último é exatamente o elemento (Y^{T}X^{T})_{ij}, porque (Y^{T})_{ik}=Y_{ki} e (X^{T})_{kj}=X_{jk}. Portanto (XY)^{T}=Y^{T}X^{T}.
Esse é um resultado padrão e muito útil: transpor inverte a ordem do produto.

Passo 5

Aplicação prática: transpondo a relação de invertibilidade de A.
Como A é invertível, existe A^{-1} tal que
A A^{-1} = I.
Agora tomamos a transposta dos dois lados dessa igualdade. Usando a propriedade do Passo 4 e I^{T}=I, obtemos
(A A^{-1})^{T} = I^{T} \quad\Longrightarrow\quad (A^{-1})^{T} A^{T} = I.
Isso mostra que (A^{-1})^{T} é uma inversa à direita de A^{T}. Faça a mesma coisa com a outra igualdade A^{-1} A = I:
(A^{-1} A)^{T} = I^{T} \quad\Longrightarrow\quad A^{T} (A^{-1})^{T} = I.
Isto mostra que (A^{-1})^{T} também é inversa à esquerda de A^{T}. Como A^{T} é quadrada, ter inversa à esquerda e à direita simultaneamente significa que (A^{-1})^{T} é a inversa de A^{T}. Pela unicidade da inversa (Passo 3), concluímos que a inversa de A^{T} é exatamente (A^{-1})^{T}. Assim A^{T} é invertível.

Passo 6

Ilustração numérica curta (exemplo concreto para fixar a ideia).
Pegue
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
Temos \det(A)=1\cdot 4-2\cdot 3=-2\neq 0, então A é invertível. A inversa é
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
A transposta é
A^{T}=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Tomando a transposta de A^{-1} obtemos
(A^{-1})^{T}=\begin{pmatrix}-2 & \tfrac{3}{2} \\[4pt] 1 & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
e conferimos que
A^{T}(A^{-1})^{T} = (A^{-1})^{T}A^{T}=I.
Isso bate com a conclusão teórica: a transposta de A é invertível e sua inversa é (A^{-1})^{T}.]

Resposta

A^{T} é invertível e (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}.

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