Problema 5 Efetue os dois produtos matriciais abaixo e explique o significado geométrico do produto de uma matriz linha por uma matriz coluna (ou vice-versa).
O enunciado pede duas coisas: (1) efetuar os dois produtos matriciais escritos e (2) explicar o significado geométrico do produto de uma matriz linha por uma matriz coluna (e o caso inverso). As matrizes fornecidas são:
Calculemos o primeiro produto: uma matriz 1\times 3 (linha) multiplicando uma matriz 3\times 1 (coluna) resulta em uma matriz 1\times 1, isto é, um escalar. A regra de multiplicação de matrizes diz que multiplicamos componentes correspondentes e somamos:
Isso significa que o produto escalar mede “quanto” os vetores estão alinhados. Se \theta=0^\circ (mesma direção), o produto é positivo máximo; se \theta=90^\circ (ortogonais), o produto é zero; se \theta=180^\circ (opostos), o produto é negativo máximo.
Projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{u}: a componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{u} é
Interpretação: \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}} é um número que diz quanto da direção de \mathbf{u} está presente em \mathbf{v}; multiplicando por \mathbf{u} obtemos o vetor projetado.
Passo 5
Agora calculemos o segundo produto: uma coluna 3\times1 multiplicando uma linha 1\times3 resulta em uma matriz 3\times3. Use a regra elemento a elemento: o elemento na linha i e coluna j é o produto da i-ésima entrada da coluna pelo j-ésimo elemento da linha. Assim
Significado geométrico do produto coluna vezes linha (produto externo ou outer product):
Denote \mathbf{u} como no Passo 3 (coluna com componentes x_{1},y_{1},z_{1}) e \mathbf{v} como a coluna com componentes x_{2},y_{2},z_{2}. A matriz obtida é \mathbf{u}\mathbf{v}^{T} (produto externo).
Essa matriz tem posto (rank) igual a 1 (quando nem \mathbf{u} nem \mathbf{v} é o vetor zero). Isso significa que todas as linhas são múltiplos umas das outras e todas as colunas são múltiplos umas das outras — é uma matriz “de posto 1”.
Como operador linear, para qualquer vetor \mathbf{w}\in\mathbb{R}^{3} (coluna 3\times1), vale
Explicando: a matriz primeiro calcula o escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} (produto interno entre \mathbf{v} e \mathbf{w}) e depois escala o vetor fixo \mathbf{u} por esse escalar. Geometricamente, a transformação envia todo o espaço para múltiplos do vetor \mathbf{u} — ou seja, projeta (em sentido amplo) tudo numa linha (direção de \mathbf{u}), com intensidade dada pela componente de \mathbf{w} na direção de \mathbf{v}.
Caso especial: se \mathbf{u}=\mathbf{v}, então a matriz \mathbf{u}\mathbf{u}^{T} satisfaz
Isso mostra que \mathbf{u}\mathbf{u}^{T} é proporcional à projeção ortogonal em direção a \mathbf{u}; para obter a projeção ortogonal exata usamos \dfrac{\mathbf{u}\mathbf{u}^{T}}{\mathbf{u}^{T}\mathbf{u}}.
Passo 7
Resumo comparativo que ajuda na prova (decora e entende):
Linha \times coluna (1\times 3 vezes 3\times 1) dá um escalar: o produto interno \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Geometricamente mede alinhamento, dá projeções, decide ortogonalidade.
Coluna \times linha (3\times 1 vezes 1\times 3) dá uma matriz 3\times3: o produto externo \mathbf{u}\mathbf{v}^{T}. Geometricamente é um operador de posto 1 que envia qualquer vetor para múltiplos de \mathbf{u}, com coeficiente dado pela componente desse vetor na direção de \mathbf{v}.
Passo 8
Observações finais úteis para a prova:
Produto de matrizes não é comutativo: \begin{bmatrix}x_{1} & y_{1} & z_{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{2}\\[4pt]y_{2}\\[4pt]z_{2}\end{bmatrix} é um escalar, enquanto o produto na ordem oposta é uma matriz 3\times3; portanto a ordem importa muito.
Se vir em prova algo como “mostre que a matriz tem posto 1”, identifique-a como um produto externo \mathbf{u}\mathbf{v}^{T}.
Se precisar de projeção ortogonal use \dfrac{\mathbf{u}\mathbf{u}^{T}}{\mathbf{u}^{T}\mathbf{u}}.]