Problema 5 Efetue os dois produtos matriciais abaixo e explique o significado geométrico do produto de uma matriz linha por uma matriz coluna (ou vice-versa).
\left[\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x_{2} \\\ y_{2} \\\ z_{2} \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ y_{1} \\\ z_{1} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{lll} x_{2} & y_{2} & z_{2} \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) efetuar os dois produtos matriciais escritos e (2) explicar o significado geométrico do produto de uma matriz linha por uma matriz coluna (e o caso inverso). As matrizes fornecidas são:
\text{linha: }\begin{bmatrix}x_{1} & y_{1} & z_{1}\end{bmatrix} \qquad\text{e}\qquad \text{coluna: }\begin{bmatrix}x_{2} \\[4pt] y_{2} \\[4pt] z_{2}\end{bmatrix}.
Ou seja, os dois produtos a efetuar são
\begin{bmatrix}x_{1} & y_{1} & z_{1}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_{2} \\[4pt] y_{2} \\[4pt] z_{2}\end{bmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{bmatrix}x_{1} \\[4pt] y_{1} \\[4pt] z_{1}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{bmatrix}.]

Passo 2

Calculemos o primeiro produto: uma matriz 1\times 3 (linha) multiplicando uma matriz 3\times 1 (coluna) resulta em uma matriz 1\times 1, isto é, um escalar. A regra de multiplicação de matrizes diz que multiplicamos componentes correspondentes e somamos:
\begin{bmatrix}x_{1} & y_{1} & z_{1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{2} \\[4pt] y_{2} \\[4pt] z_{2}\end{bmatrix} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}.]

Passo 3

Vou ensinar o que essa soma significa: se definirmos os vetores coluna
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] y_{1}\\[4pt] z_{1}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x_{2}\\[4pt] y_{2}\\[4pt] z_{2}\end{pmatrix},
então o resultado do Passo 2 é exatamente o produto interno (ou produto escalar) \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}, dado por
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.
Explicando a fórmula: cada termo x_{1}x_{2}, y_{1}y_{2}, z_{1}z_{2} é o produto das componentes correspondentes; somando obtemos um único número.]

Passo 4

Propriedades geométricas do produto escalar (isto é importante para entender o significado geométrico na prova):
  • A norma (comprimento) de \mathbf{u} é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}.
Expliquei o que cada símbolo significa: \|\mathbf{u}\| é o tamanho do vetor \mathbf{u}.
  • Relação com o ângulo \theta entre os vetores:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Isso significa que o produto escalar mede “quanto” os vetores estão alinhados. Se \theta=0^\circ (mesma direção), o produto é positivo máximo; se \theta=90^\circ (ortogonais), o produto é zero; se \theta=180^\circ (opostos), o produto é negativo máximo.
  • Projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{u}: a componente de \mathbf{v} na direção de \mathbf{u} é
\text{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}\,\mathbf{u}.
Interpretação: \dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}} é um número que diz quanto da direção de \mathbf{u} está presente em \mathbf{v}; multiplicando por \mathbf{u} obtemos o vetor projetado.

Passo 5

Agora calculemos o segundo produto: uma coluna 3\times1 multiplicando uma linha 1\times3 resulta em uma matriz 3\times3. Use a regra elemento a elemento: o elemento na linha i e coluna j é o produto da i-ésima entrada da coluna pelo j-ésimo elemento da linha. Assim
\begin{bmatrix}x_{1} \\[4pt] y_{1} \\[4pt] z_{1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1}x_{2} & x_{1}y_{2} & x_{1}z_{2} \\[4pt] y_{1}x_{2} & y_{1}y_{2} & y_{1}z_{2} \\[4pt] z_{1}x_{2} & z_{1}y_{2} & z_{1}z_{2} \end{bmatrix}.]

Passo 6

Significado geométrico do produto coluna vezes linha (produto externo ou outer product):
  • Denote \mathbf{u} como no Passo 3 (coluna com componentes x_{1},y_{1},z_{1}) e \mathbf{v} como a coluna com componentes x_{2},y_{2},z_{2}. A matriz obtida é \mathbf{u}\mathbf{v}^{T} (produto externo).
  • Essa matriz tem posto (rank) igual a 1 (quando nem \mathbf{u} nem \mathbf{v} é o vetor zero). Isso significa que todas as linhas são múltiplos umas das outras e todas as colunas são múltiplos umas das outras — é uma matriz “de posto 1”.
  • Como operador linear, para qualquer vetor \mathbf{w}\in\mathbb{R}^{3} (coluna 3\times1), vale
(\mathbf{u}\mathbf{v}^{T})\mathbf{w}=\mathbf{u}\,(\mathbf{v}^{T}\mathbf{w})=\mathbf{u}\,(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).
Explicando: a matriz primeiro calcula o escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} (produto interno entre \mathbf{v} e \mathbf{w}) e depois escala o vetor fixo \mathbf{u} por esse escalar. Geometricamente, a transformação envia todo o espaço para múltiplos do vetor \mathbf{u} — ou seja, projeta (em sentido amplo) tudo numa linha (direção de \mathbf{u}), com intensidade dada pela componente de \mathbf{w} na direção de \mathbf{v}.
  • Caso especial: se \mathbf{u}=\mathbf{v}, então a matriz \mathbf{u}\mathbf{u}^{T} satisfaz
(\mathbf{u}\mathbf{u}^{T})\mathbf{w}=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{u}=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u})\cdot\frac{(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}\,\mathbf{u}.
Isso mostra que \mathbf{u}\mathbf{u}^{T} é proporcional à projeção ortogonal em direção a \mathbf{u}; para obter a projeção ortogonal exata usamos \dfrac{\mathbf{u}\mathbf{u}^{T}}{\mathbf{u}^{T}\mathbf{u}}.

Passo 7

Resumo comparativo que ajuda na prova (decora e entende):
  • Linha \times coluna ( 1\times 3 vezes 3\times 1) dá um escalar: o produto interno \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Geometricamente mede alinhamento, dá projeções, decide ortogonalidade.
  • Coluna \times linha ( 3\times 1 vezes 1\times 3) dá uma matriz 3\times3: o produto externo \mathbf{u}\mathbf{v}^{T}. Geometricamente é um operador de posto 1 que envia qualquer vetor para múltiplos de \mathbf{u}, com coeficiente dado pela componente desse vetor na direção de \mathbf{v}.

Passo 8

Observações finais úteis para a prova:
  • Produto de matrizes não é comutativo: \begin{bmatrix}x_{1} & y_{1} & z_{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{2}\\[4pt]y_{2}\\[4pt]z_{2}\end{bmatrix} é um escalar, enquanto o produto na ordem oposta é uma matriz 3\times3; portanto a ordem importa muito.
  • Se vir em prova algo como “mostre que a matriz tem posto 1”, identifique-a como um produto externo \mathbf{u}\mathbf{v}^{T}.
  • Se precisar de projeção ortogonal use \dfrac{\mathbf{u}\mathbf{u}^{T}}{\mathbf{u}^{T}\mathbf{u}}.]

Resposta

\;x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\n
\begin{pmatrix} x_{1}x_{2} & x_{1}y_{2} & x_{1}z_{2} \\[4pt] y_{1}x_{2} & y_{1}y_{2} & y_{1}z_{2} \\[4pt] z_{1}x_{2} & z_{1}y_{2} & z_{1}z_{2} \end{pmatrix}]

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