Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade vetorial que envolve o rotor (curl) de um produto entre um campo escalar φ e um campo vetorial F. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente das regras de derivação de operadores diferenciais aplicados a produtos.
Passo 2
Vamos usar a definição do rotor em coordenadas cartesianas. Seja F=(F_x,F_y,F_z), então φF=(φF_x,φF_y,φF_z) e
Passo 3
Ao desenvolver o determinante, obtemos cada componente via produto de derivadas. Para a componente x:
Aplicando a regra do produto em cada termo:
Subtraindo, temos
Passo 4
Reconhecendo que
e que a componente x de (∇φ)×F é
agora agrupamos os termos para escrever em forma vetorial:
Passo 5
Portanto, mostramos a identidade desejada de forma geral, sem necessidade de verificar individualmente as componentes y e z, pois o raciocínio é análogo.