Mostre que nabla times(varphi F)=varphi nabla times F+(nabla varphi) times F

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade vetorial que envolve o rotor (curl) de um produto entre um campo escalar φ e um campo vetorial F. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente das regras de derivação de operadores diferenciais aplicados a produtos.

Passo 2

Vamos usar a definição do rotor em coordenadas cartesianas. Seja F=(F_x,F_y,F_z), então φF=(φF_x,φF_y,φF_z) e
nablatimes(φF)= ex & ey & ez partialx & partialy & partialz φFx & φFy & φFz

Passo 3

Ao desenvolver o determinante, obtemos cada componente via produto de derivadas. Para a componente x:
(nablatimes(φF))x=partialy(φFz)-partialz(φFy)
Aplicando a regra do produto em cada termo:
partialy(φFz)=φ,partialyFz+(partialyφ)Fz,
partialz(φFy)=φ,partialzFy+(partialzφ)Fy
Subtraindo, temos
(nablatimes(φF))x =φ(partialyFz-partialzFy)+[(partialyφ)Fz-(partialzφ)Fy]

Passo 4

Reconhecendo que
(nablatimes F)x=partialyFz-partialzFy
e que a componente x de (∇φ)×F é
((nablaφ)times F)x=(partialyφ)Fz-(partialzφ)Fy,
agora agrupamos os termos para escrever em forma vetorial:
nablatimes(φF)=φ,(nablatimes F)+(nablaφ)times F

Passo 5

Portanto, mostramos a identidade desejada de forma geral, sem necessidade de verificar individualmente as componentes y e z, pois o raciocínio é análogo.

Resposta

nablatimes(varphi,vec F)=varphi,(nablatimesvec F)+(nablavarphi)timesvec F

Exercícios relacionados