Seja
a seguinte função:
a. Achar o domínio da função
.
b. Calcular
e
.
c. Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função.
d. Provar que
para todo
.
e. Estudar a concavidade da função
e achar os pontos de inflexão.
f. Esboçar o gráfico da função.
b. Calcular
c. Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função.
d. Provar que
e. Estudar a concavidade da função
f. Esboçar o gráfico da função.
Passo 1
Nesse exercício vamos analisar a função ,
. Vamos precisar usar conceitos de domínio de funções, limites de funções em ±∞, derivadas primeira e segunda para estudar monotonicidade e concavidade, além de pontos de inflexão e esboço de gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio de
, basta lembrar que a função
está definida para todo . Como
assume todo valor em
, não há restrição extra. Assim, .
Passo 3
Para os limites em ±∞, note que
tanto para
quanto para
. E sabemos que
quando
. Logo,
Passo 4
Para estudar crescimento e decrescimento, calculamos a derivada primeira por regra da cadeia:
Como o denominador
sempre, o sinal de
é o mesmo de
. Portanto
em
,
e
em
. Ou seja,
é decrescente em
e crescente em
.
Passo 5
Para obter
, derivamos
aplicando a regra do quociente. Fazendo as contas (agrupando termos e simplificando), chega-se a:
Passo 6
Para estudar a concavidade, basta olhar o sinal de
. O fator
é sempre positivo, então o sinal vem de
.
- Se
, então e : a curva é côncava para cima. - Se
, então e : a curva é côncava para baixo.
Os pontos de inflexão ocorrem em, onde .
Passo 7
Para esboçar o gráfico, note que
é par (depende de
), tem mínimo em
, assíntota horizontal
nos dois extremos, decresce até
de
a 0 e depois cresce de 0 a
. Além disso, muda de concavidade nos pontos de inflexão
.
Resposta
a) .
b) .
c) :
é decrescente em
e crescente em
.
d)
e) é côncava para cima se
, côncava para baixo se
; pontos de inflexão em
.
f) Gráfico simétrico, mínimo em , assíntota horizontal
, muda de concavidade em
.
b)
c)
d)
e)
f) Gráfico simétrico, mínimo em