Seja f a seguinte função:
f: Dom(f) & R x & arctan (x^2)
a. Achar o domínio da função f.
b. Calcular lim x -infty f(x) e lim x +infty f(x).
c. Estudar as variações (crescimento e decrescimento) da função.
d. Provar que x in Dom(f) para todo f.
e. Estudar a concavidade da função e achar os pontos de inflexão.
f. Esboçar o gráfico da função.

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar a função , f: Dom(f)toR. Vamos precisar usar conceitos de domínio de funções, limites de funções em ±∞, derivadas primeira e segunda para estudar monotonicidade e concavidade, além de pontos de inflexão e esboço de gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio de f, basta lembrar que a função arctan(y) está definida para todo . Como yinR assume todo valor em y=x^2, não há restrição extra. Assim, .

Passo 3

Para os limites em ±∞, note que x^2to+infty tanto para xto-infty quanto para xto+infty. E sabemos que arctan(y)totfracpi2 quando yto+infty. Logo,
limxto-inftyf(x)=limxto+inftyf(x)=pi2

Passo 4

Para estudar crescimento e decrescimento, calculamos a derivada primeira por regra da cadeia:
f'(x)=ddxarctan(x^2)=11+(x^2)^2cdot2x=2x1+x^4
Como o denominador 1+x^4>0 sempre, o sinal de f'(x) é o mesmo de x. Portanto f'(x)<0 em (-infty,0), f'(0)=0 e f'(x)>0 em (0,infty). Ou seja, f é decrescente em (-infty,0] e crescente em [0,infty).

Passo 5

Para obter f''(x), derivamos f'(x)=2x/(1+x^4) aplicando a regra do quociente. Fazendo as contas (agrupando termos e simplificando), chega-se a:
f''(x)=2l(1-raiz3,x^2r)l(1+raiz3,x^2r)(1+x^4)^2

Passo 6

Para estudar a concavidade, basta olhar o sinal de f''(x). O fator (1+raiz3,x^2) é sempre positivo, então o sinal vem de 1-raiz3,x^2.
  • Se |x|<3^-1/4, então 1-raiz3,x^2>0 e f''(x)>0: a curva é côncava para cima.
  • Se |x|>3^-1/4, então 1-raiz3,x^2<0 e f''(x)<0: a curva é côncava para baixo.
    Os pontos de inflexão ocorrem em x=pm3^-1/4, onde f''(x)=0.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, note que f é par (depende de x^2), tem mínimo em (0,0), assíntota horizontal y=tfracpi2 nos dois extremos, decresce até x=0 de pi/2 a 0 e depois cresce de 0 a pi/2. Além disso, muda de concavidade nos pontos de inflexão x=pm3^-1/4.

Resposta

a) .
b) Dom(f)=R.
c) limxto-inftyf(x)=limxto+inftyf(x)=pi2: f'(x)=2x1+x^4 é decrescente em f e crescente em (-infty,0].
d) [0,infty)
e) f''(x)=2(1-raiz3x^2)(1+raiz3x^2)(1+x^4)^2 é côncava para cima se f, côncava para baixo se |x|<3^-1/4; pontos de inflexão em |x|>3^-1/4.
f) Gráfico simétrico, mínimo em x=pm3^-1/4, assíntota horizontal (0,0), muda de concavidade em y=pi2.

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