Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes: y’’+3y’=4x-5. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em achar primeiro a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para encontrar a solução complementar y_c, resolvemos a equação característica associada:
r^2+3r=0
Logo, as raízes são r=0 e r=-3. Portanto,
yc=C1cdot1 + C2 e^-3x

Passo 3

Como o termo à direita, 4x-5, é um polinômio de grau 1 e a raiz r=0 gera termo constante na solução complementar, multiplicamos o chute por x. Assim, propomos solução particular
yp = A x^2 + B x

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
yp' = 2A x + B,
yp'' = 2A
Substituindo em y’’+3y’=4x-5:
2A + 3(2A x + B) = 4x - 5
Isso é
6A x + (2A + 3B) = 4x - 5
Igualando coeficientes de x: 6A=4 ⇒ A=2/3. Igualando termos constantes: 2A+3B=-5 ⇒ 2·(2/3)+3B=-5 ⇒ 3B=-19/3 ⇒ B=-19/9.

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da complementar com a particular:
y(x)=C1 + C2 e^-3x + 23x^2 - 199x

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{-3x} + \frac{2}{3}x^2 - \frac{19}{9}x

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