Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Temos uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes: y’’+3y’=4x-5. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em achar primeiro a solução complementar (homogênea) e depois uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Para encontrar a solução complementar y_c, resolvemos a equação característica associada:
Logo, as raízes são r=0 e r=-3. Portanto,
Passo 3
Como o termo à direita, 4x-5, é um polinômio de grau 1 e a raiz r=0 gera termo constante na solução complementar, multiplicamos o chute por x. Assim, propomos solução particular
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p:
Substituindo em y’’+3y’=4x-5:
Isso é
Igualando coeficientes de x: 6A=4 ⇒ A=2/3. Igualando termos constantes: 2A+3B=-5 ⇒ 2·(2/3)+3B=-5 ⇒ 3B=-19/3 ⇒ B=-19/9.
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da complementar com a particular:
Resposta
y(x)=C_1 + C_2 e^{-3x} + \frac{2}{3}x^2 - \frac{19}{9}x