A reta 2 x+3 y=5, ao interceptar os dois eixos coordenados, forma com este um triângulo retângulo. Calcule a medida da hipotenusa desse triângulo.

Passo 1

O enunciado pede a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos pontos em que a reta 2x+3y=5 intercepta os eixos coordenados. Estamos em geometria analítica e vamos precisar achar os interceptos da reta e depois usar a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Para achar o intercepto em x, fazemos y=0 na equação da reta:
2x+3cdot0=5
x=52
Logo o ponto de intercepto em x é A=(5/2,0).

Passo 3

Para achar o intercepto em y, fazemos x=0 na equação da reta:
2cdot0+3y=5
y=53
Logo o ponto de intercepto em y é B=(0,5/3).

Passo 4

O triângulo é formado pelos pontos O=(0,0), A=(5/2,0) e B=(0,5/3). Como o ângulo em O é reto, a hipotenusa é o lado oposto a esse ângulo, ou seja, o segmento AB. Para achar seu comprimento usamos a fórmula da distância entre A e B.

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância entre A=(5/2,0) e B=(0,5/3):
AB=raizl(tfrac52-0r)^2+l(0-tfrac53r)^2=raiz254+259=raiz225+10036=raiz32536=raiz3256=5raiz136

Resposta

5raiz136

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