Resolva a equação diferencial pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

Temos a equação diferencial
y'' - 2y' + 2y = x^3 + 4x
O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea supomos uma solução da forma yh = e^rx e formamos a equação característica
r^2 - 2r + 2 = 0
As raízes são r = 1 pm i, logo
yh(x) = e^xl(C1 cos x + C2 sin xr)

Passo 3

Para a parte particular escolhemos um ansatz polinomial de grau 3 compatível com o lado direito. Assim, tomamos
yp(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D

Passo 4

Calculamos as derivadas
yp' = 3Ax^2 + 2Bx + C,
yp'' = 6Ax + 2B
e substituímos em y'' - 2y' + 2y. Isso leva a
L[yp] = 2A x^3 + (-6A + 2B)x^2 + (6A - 4B + 2C)x + (2B - 2C + 2D)

Passo 5

Igualando cada coeficiente ao correspondente de x^3 + 0x^2 + 4x + 0, obtemos o sistema
2A = 1, -6A + 2B = 0, 6A - 4B + 2C = 4, 2B - 2C + 2D = 0
Resolvendo, vem
A = tfrac12, B = tfrac32, C = tfrac72, D = 2

Passo 6

Portanto, a solução geral da EDO é a soma
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh e yp são as soluções homogênea e particular encontradas.

Resposta

y(x) = e^xl(C1 cos x + C2 sin xr) + tfrac12 x^3 + tfrac32 x^2 + tfrac72 x + 2

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