Sejam
número complexos não nulos. Considere o conjunto das sequências
definidas indutivamente como segue:
Mostre que
é um
-espaço vetorial de dimensão 2. (Dica: encontre um isomorfismo
:
)
definidas indutivamente como segue:
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço V das sequências complexas que satisfazem a recorrência
e pede para mostrar que V é um
-espaço vetorial de dimensão 2. Vamos usar o isomorfismo sugerido por uma dica: associar a cada sequência seus dois primeiros termos.
Passo 2
Definimos a aplicação
por
. Para ver que
é linear, basta notar que se
e
estão em
e
, então
Passo 3
Para mostrar que
é injetora, consideramos
. Isso dá
e
. Pela recorrência,
, e por indução todos os
são zero. Logo o núcleo de
é apenas a sequência nula, e
é injetora.
Passo 4
Para ver que
é sobrejetora, pegamos um par arbitrário
. Basta definir a sequência
por
e usar a recorrência
para gerar todos os termos. Essa sequência pertence a
e
. Assim,
é bijetora.
Passo 5
Como
é um isomorfismo linear entre
e
, concluímos que
é um
-espaço vetorial e tem a mesma dimensão de
, ou seja, dimensão 2.