Sejam a, b in C número complexos não nulos. Considere o conjunto das sequências
definidas indutivamente como segue:
V:=(xn)n in N in C^N mid forall n in N, xn+2=a xn+1+b xn
Mostre que V é um C-espaço vetorial de dimensão 2. (Dica: encontre um isomorfismo T : V C^2 )

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço V das sequências complexas que satisfazem a recorrência xn+2=a,xn+1+b,xn e pede para mostrar que V é um C-espaço vetorial de dimensão 2. Vamos usar o isomorfismo sugerido por uma dica: associar a cada sequência seus dois primeiros termos.

Passo 2

Definimos a aplicação Tcolon Vto C^2 por Tl((xn)nin Nr)=(x0,x1). Para ver que T é linear, basta notar que se (xn) e (yn) estão em V e lambdain C, então
T((xn)+(yn))=(x0+y0,,x1+y1)=T(xn)+T(yn),
T(lambda,(xn))=(lambda x0,,lambda x1)=lambda,T(xn)

Passo 3

Para mostrar que T é injetora, consideramos T((xn))=(0,0). Isso dá x0=0 e x1=0. Pela recorrência, x2=a,x1+b,x0=0, e por indução todos os xn são zero. Logo o núcleo de T é apenas a sequência nula, e T é injetora.

Passo 4

Para ver que T é sobrejetora, pegamos um par arbitrário (u,v)in C^2. Basta definir a sequência (xn) por x0=u,;x1=v e usar a recorrência xn+2=a,xn+1+b,xn para gerar todos os termos. Essa sequência pertence a V e T((xn))=(u,v). Assim, T é bijetora.

Passo 5

Como T é um isomorfismo linear entre V e C^2, concluímos que V é um C-espaço vetorial e tem a mesma dimensão de C^2, ou seja, dimensão 2.

Resposta

dim C(V)=2

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