Mostre que raiz2 não é um número racional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que raiz2 não pode ser escrito como uma razão de dois inteiros, ou seja, não é um número racional. O conteúdo aqui é prova por contradição usando propriedades de paridade de números inteiros.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que raiz2 seja racional. Então existem inteiros p e qneq0 sem fator comum (ou seja, gcd(p,q)=1) tais que
raiz2 = pq
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
p^2 = 2q^2

Passo 3

Da equação p^2 = 2q^2 conclui-se que p^2 é par (pois é duas vezes um inteiro). Como todo quadrado de número ímpar é ímpar, segue que p também deve ser par. Logo, existe inteiro k tal que
p = 2k

Passo 4

Substituindo p=2k em p^2 = 2q^2, vem
(2k)^2 = 2q^2
ou seja
4k^2 = 2q^2
Dividindo por 2, obtemos
2k^2 = q^2
Isso mostra que q^2 é par, e portanto q também é par.

Passo 5

Chegamos ao fato de que tanto p quanto q são pares, ou seja, ambos têm o fator 2 em comum. Isso contradiz a hipótese de que gcd(p,q)=1. A contradição surge da suposição de que raiz2 era racional.

Resposta

Logo, raiz2 não é um número racional.

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