Mostre que
não é um número racional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não pode ser escrito como uma razão de dois inteiros, ou seja, não é um número racional. O conteúdo aqui é prova por contradição usando propriedades de paridade de números inteiros.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros
e
sem fator comum (ou seja,
) tais que
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Passo 3
Da equação
conclui-se que
é par (pois é duas vezes um inteiro). Como todo quadrado de número ímpar é ímpar, segue que
também deve ser par. Logo, existe inteiro
tal que
Passo 4
Substituindo
em
, vem
ou seja
Dividindo por 2, obtemos
Isso mostra que
é par, e portanto
também é par.
Passo 5
Chegamos ao fato de que tanto
quanto
são pares, ou seja, ambos têm o fator 2 em comum. Isso contradiz a hipótese de que
. A contradição surge da suposição de que
era racional.
Resposta
Logo,
não é um número racional.