Mostre que em todo corpo
vale que
. Além disto, mostre que os elementos neutros da adição e multiplicação são únicos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em um corpo
:
- Mostrar que, para todo
, vale
- Provar que o elemento neutro da adição (denotado por
) e o elemento neutro da multiplicação (denotado por ) são únicos.
Passo 2
Para provar que
, usamos a distributividade e o inverso aditivo. Para qualquer
, temos
Como
, segue que
Agora, some o inverso aditivo de
em ambos os lados para “cancelar” um termo:
Passo 3
Suponha que existam dois elementos neutros aditivos,
e
, tais que para todo
vale
Em particular, tomando
na segunda igualdade e
na primeira, obtemos
Logo,
ou seja, o neutro aditivo é único.
Passo 4
Analogamente, suponha que
e
sejam dois neutros multiplicativos de
, ou seja,
Em particular, aplicando-se ao caso
e
, segue
Portanto,
que mostra a unicidade do neutro multiplicativo.
Resposta
Ficou demonstrado que em qualquer corpo
vale
para todo
, e que os elementos neutros da adição e da multiplicação são únicos.