Mostre que em todo corpo K vale que 0 x=0 ; forall x in K. Além disto, mostre que os elementos neutros da adição e multiplicação são únicos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em um corpo K:
  1. Mostrar que, para todo xin K, vale
0cdot x = 0
  1. Provar que o elemento neutro da adição (denotado por 0) e o elemento neutro da multiplicação (denotado por 1) são únicos.

Passo 2

Para provar que 0cdot x=0, usamos a distributividade e o inverso aditivo. Para qualquer xin K, temos
(0 + 0)cdot x = 0cdot x + 0cdot x
Como 0+0=0, segue que
0cdot x = 0cdot x + 0cdot x
Agora, some o inverso aditivo de 0cdot x em ambos os lados para “cancelar” um termo:
0 = 0cdot x

Passo 3

Suponha que existam dois elementos neutros aditivos, e e e', tais que para todo xin K vale
x + e = x e x + e' = x
Em particular, tomando x = e na segunda igualdade e x = e' na primeira, obtemos
e + e' = e e e + e' = e'
Logo,
e = e + e' = e',
ou seja, o neutro aditivo é único.

Passo 4

Analogamente, suponha que u e u' sejam dois neutros multiplicativos de K, ou seja,
x cdot u = x e x cdot u' = x forall xin K
Em particular, aplicando-se ao caso x = u e x = u', segue
u cdot u' = u e u cdot u' = u'
Portanto,
u = u cdot u' = u',
que mostra a unicidade do neutro multiplicativo.

Resposta

Ficou demonstrado que em qualquer corpo K vale ,0cdot x=0 para todo xin K, e que os elementos neutros da adição e da multiplicação são únicos.

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