Mostre que se
não é primo e
, então
!
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer provar que, se um número
não é primo e é maior que 4, então o fatorial de
é congruente a 0 módulo
. Isso está relacionado ao estudo dos números primos e propriedades de fatoriais em teoria dos números. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser primo, o que é o fatorial e como funciona a congruência modular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Se
não é primo e
, então
é um número composto, ou seja, tem pelo menos um divisor diferente de 1 e de si mesmo.
Passo 3
Agora, vamos pensar no fatorial de
, que é o produto de todos os números de 1 até
:
Como
é composto, ele pode ser escrito como
, onde
e
são inteiros maiores que 1 e menores que
. Como
e
são menores que
e ambos estão no intervalo de 1 a
, eles aparecem no produto do fatorial
.
Passo 4
Já que
e
estão multiplicados em
, isso significa que
divide o fatorial
. Em termos de congruência, isso quer dizer que quando dividirmos
por
, o resto será 0:
Resposta
Portanto, mostramos que se
não é primo e
, então
.