Mostre que se n não é primo e n>4, então (n-1) ! equiv 0 bmod n;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente quer provar que, se um número n não é primo e é maior que 4, então o fatorial de (n-1) é congruente a 0 módulo n . Isso está relacionado ao estudo dos números primos e propriedades de fatoriais em teoria dos números. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um número ser primo, o que é o fatorial e como funciona a congruência modular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Se n não é primo e n > 4 , então n é um número composto, ou seja, tem pelo menos um divisor diferente de 1 e de si mesmo.

Passo 3

Agora, vamos pensar no fatorial de (n-1) , que é o produto de todos os números de 1 até n-1 :
(n-1)! = 1 times 2 times 3 times dots times (n-1)
Como n é composto, ele pode ser escrito como n = a times b , onde a e b são inteiros maiores que 1 e menores que n . Como a e b são menores que n e ambos estão no intervalo de 1 a n-1 , eles aparecem no produto do fatorial (n-1)! .

Passo 4

Já que a e b estão multiplicados em (n-1)! , isso significa que n = a times b divide o fatorial (n-1)! . Em termos de congruência, isso quer dizer que quando dividirmos (n-1)! por n , o resto será 0:
(n-1)! equiv 0 pmodn

Resposta

Portanto, mostramos que se n não é primo e n > 4 , então (n-1)! equiv 0 pmodn .

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