Mostre a recíproca do Teorema de Wilson.
, então
é primo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar a recíproca do Teorema de Wilson. Isso significa que, se
, então
tem que ser primo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre fatoriais e congruências modulares, além de como esses conceitos se relacionam com números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um fatorial. Para qualquer número inteiro positivo
, o fatorial
é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre congruências modulares. Quando dizemos que
, estamos dizendo que, ao dividir
e
por
, eles deixam o mesmo resto. Então,
significa que, quando dividimos
por
, o resto é
. Mas como trabalhamos com restos positivos,
é o mesmo que
.
Passo 4
Queremos provar que se
, então
é primo. Vamos provar o contrário: se
não é primo, então
. Assim, se
,
deve ser primo.
Passo 5
Se
não é primo, então ele é composto, ou seja, pode ser escrito como
, onde
. Isso significa que
e
são fatores de
que estão dentro do intervalo de 1 a
.
Passo 6
Nesse caso, ambos
e
aparecem no cálculo de
, porque
. Como
e
são múltiplos de
, o produto
será múltiplo de
, ou seja,
.
Passo 7
Então, se
é composto, temos
, que não é igual a
. Logo, a única possibilidade para que
seja verdadeira é se
for primo.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então
deve ser um número primo.