Mostre a recíproca do Teorema de Wilson. Se(n-1)!equiv-1 bmod n, então n é primo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar a recíproca do Teorema de Wilson. Isso significa que, se (n-1)! equiv -1 mod n, então n tem que ser primo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre fatoriais e congruências modulares, além de como esses conceitos se relacionam com números primos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um fatorial. Para qualquer número inteiro positivo n, o fatorial (n-1)! é o produto de todos os números inteiros de 1 até n-1. Por exemplo, 4! = 1 times 2 times 3 times 4 = 24.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre congruências modulares. Quando dizemos que a equiv b mod n, estamos dizendo que, ao dividir a e b por n, eles deixam o mesmo resto. Então, (n-1)! equiv -1 mod n significa que, quando dividimos (n-1)! por n, o resto é -1. Mas como trabalhamos com restos positivos, -1 mod n é o mesmo que n-1.

Passo 4

Queremos provar que se (n-1)! equiv -1 mod n, então n é primo. Vamos provar o contrário: se n não é primo, então (n-1)! notequiv -1 mod n. Assim, se (n-1)! equiv -1 mod n, n deve ser primo.

Passo 5

Se n não é primo, então ele é composto, ou seja, pode ser escrito como n = a times b, onde 1 < a, b < n. Isso significa que a e b são fatores de n que estão dentro do intervalo de 1 a n-1.

Passo 6

Nesse caso, ambos a e b aparecem no cálculo de (n-1)!, porque (n-1)! = 1 times 2 times dots times a times dots times b times dots times (n-1). Como a e b são múltiplos de n, o produto (n-1)! será múltiplo de n, ou seja, (n-1)! equiv 0 mod n.

Passo 7

Então, se n é composto, temos (n-1)! equiv 0 mod n, que não é igual a -1 mod n. Logo, a única possibilidade para que (n-1)! equiv -1 mod n seja verdadeira é se n for primo.

Resposta

Portanto, mostramos que se (n-1)! equiv -1 mod n, então n deve ser um número primo.

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