Mostre a seguinte generalização do Pequeno Teorema de Fermat, devida a Euler.
, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, conhecida como Teorema de Euler. Isso está dentro da matéria de teoria dos números, especificamente lidando com congruências e funções como a função totiente de Euler, representada por
. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como o máximo divisor comum e propriedades de números em congruência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dizer que
. Isso quer dizer que o maior número que divide tanto
quanto
é 1, ou seja,
e
são números primos entre si, não têm divisores comuns além de 1.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função totiente de Euler,
. Essa função conta quantos números inteiros positivos menores que
são coprimos com
. Por exemplo, se
, os números coprimos com 9 são 1, 2, 4, 5, 7 e 8, então
.
Passo 4
O próximo passo é entender o que significa a congruência
. Isso quer dizer que, quando a gente divide
por
, o resto da divisão é 1. Ou seja,
deixa resto 1 quando dividido por
.
Passo 5
Para provar que
, vamos usar o conceito de inverso multiplicativo e propriedades de grupos em aritmética modular. Como
, sabemos que
tem um inverso multiplicativo módulo
, o que é essencial para a nossa prova.
Passo 6
Vamos considerar o conjunto dos números que são coprimos com
, ou seja, os números que têm
igual a 1 com
. Esse conjunto forma um grupo multiplicativo sob a multiplicação módulo
, e o número de elementos desse grupo é exatamente
.
Passo 7
No contexto de grupos, sabemos que para qualquer elemento
no grupo, a ordem de
(o menor inteiro positivo
tal que
) divide a ordem do grupo, que é
. Portanto, temos que
.
Resposta
Assim, mostramos que se
, então
, confirmando a generalização do Pequeno Teorema de Fermat, conhecida como Teorema de Euler.