Mostre que
nenhum número na sequência 44, 444, 4444, 44444 etc., é um quadrado.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que nenhum termo da sequência
44, 444, 4444, 44444, ···
é um quadrado perfeito. O conteúdo envolvido é teoria de números, mais especificamente aritmética modular e resíduos quadráticos módulo 16.

Passo 2

Vamos escrever o n-ésimo termo da sequência, que tem n dígitos “ 4”. Chamando-o de Nn, temos
Nn = 4 + 4cdot 10 + 4cdot 10^2 + cdots + 4cdot10^n-1 = 4 ,10^n - 19

Passo 3

Para estudar se Nn pode ser quadrado, vamos calcular Nn módulo 16. Como gcd(9,16)=1, o inverso de 9 módulo 16 é 9 (pois 9cdot9=81equiv1pmod16). Logo
Nn equiv 4cdot9,(10^n - 1)pmod16 equiv 36,(10^n-1)pmod16 equiv 4,(10^n-1)pmod16
Além disso, para todo n>=2 temos
10^2equiv4,10^3equiv8,10^kequiv0 para k>=4 pmod16,
de modo que em todos os casos 10^n-1equiv3pmod4 e
Nnequiv4,(10^n-1)equiv4cdot3equiv12pmod16

Passo 4

Sabemos que os resíduos quadráticos módulo 16 (isto é, os valores que x^2 pode assumir em 0,1,dots,15) são
0,,1,,4,,9
Como 12 não pertence a esse conjunto, nenhum Nnequiv12pmod16 pode ser quadrado.

Resposta

Nenhum dos números 44, 444, 4444, ··· é um quadrado perfeito.

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