Mostre que
nenhum número na sequência 44, 444, 4444, 44444 etc., é um quadrado.
nenhum número na sequência 44, 444, 4444, 44444 etc., é um quadrado.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que nenhum termo da sequência
,
,
,
, ···
é um quadrado perfeito. O conteúdo envolvido é teoria de números, mais especificamente aritmética modular e resíduos quadráticos módulo .
é um quadrado perfeito. O conteúdo envolvido é teoria de números, mais especificamente aritmética modular e resíduos quadráticos módulo
Passo 2
Vamos escrever o
-ésimo termo da sequência, que tem
dígitos “
”. Chamando-o de
, temos
Passo 3
Para estudar se
pode ser quadrado, vamos calcular
módulo
. Como
, o inverso de
módulo
é
(pois
). Logo
Além disso, para todo
temos
de modo que em todos os casos
e
Passo 4
Sabemos que os resíduos quadráticos módulo
(isto é, os valores que
pode assumir em
) são
Como
não pertence a esse conjunto, nenhum
pode ser quadrado.
Resposta
Nenhum dos números
,
,
, ··· é um quadrado perfeito.