Seja
a função que associa a cada número natural o resto de sua divisão por 7 . Considerando essa função e que
, responda:
a) Qual o valor de
?
b) Podemos afirmar que
?
c) Qual o conjunto imagem de
?
d)
é uma função injetora?
e)
possui inversa?
a) Qual o valor de
b) Podemos afirmar que
c) Qual o conjunto imagem de
d)
e)
Passo 1
O enunciado define
por
ou seja, usamos o Algoritmo da Divisão para achar
com
e
. Vamos precisar de aritmética modular, dos conceitos de imagem, injetividade e existência de inversa.
Passo 2
Para (a) calculamos
logo
Passo 3
Para (b) achamos
Como
, não é verdade que
.
Passo 4
Para (c), a imagem de
são todos os possíveis restos de divisão por 7, ou seja
Passo 5
Para (d),
não é injetora porque, por exemplo,
mas
. Logo há diferentes
com mesmo valor de
.
Passo 6
Para (e), só existe inversa de uma função se ela for bijetora (injetora e sobrejetora sobre o contradomínio). Aqui
não é injetora em
, então não possui inversa global.
Resposta
(a)
(b) Não, pois .
(c)
(d) Não.
(e) Não.
(b) Não, pois
(c)
(d) Não.
(e) Não.