Seja f a função que associa a cada número natural o resto de sua divisão por 7 . Considerando essa função e que N=0,1,2,3, ldots, responda:
a) Qual o valor de f(62)-f(3) ?
b) Podemos afirmar que f(82)=f(163) ?
c) Qual o conjunto imagem de f ?
d) f é uma função injetora?
e) f possui inversa?

Passo 1

O enunciado define fcolon NtoN por
f(n)=resto da divisão de n por 7, ã
ou seja, usamos o Algoritmo da Divisão para achar n=7q+r com 0<= r<=6 e r=f(n). Vamos precisar de aritmética modular, dos conceitos de imagem, injetividade e existência de inversa.

Passo 2

Para (a) calculamos
f(62)=62mod7=62-7cdot8=6,
f(3)=3mod7=3,
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f(62)-f(3)=6-3=3

Passo 3

Para (b) achamos
f(82)=82mod7=82-7cdot11=5,
f(163)=163mod7=163-7cdot23=2
Como 5neq2, não é verdade que f(82)=f(163).

Passo 4

Para (c), a imagem de f são todos os possíveis restos de divisão por 7, ou seja
Im(f)=0,1,2,3,4,5,6

Passo 5

Para (d), f não é injetora porque, por exemplo,
f(0)=0=f(7)
mas 0neq7. Logo há diferentes n com mesmo valor de f(n).

Passo 6

Para (e), só existe inversa de uma função se ela for bijetora (injetora e sobrejetora sobre o contradomínio). Aqui f não é injetora em N, então não possui inversa global.

Resposta

(a) 3
(b) Não, pois f(82)=5neq2=f(163).
(c) 0,1,2,3,4,5,6
(d) Não.
(e) Não.

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