Mostre que
nenhum número na sequência 99, 999, 9 999, 99999 etc., é um quadrado.
nenhum número na sequência 99, 999, 9 999, 99999 etc., é um quadrado.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que nenhum número formado apenas por dígitos
, isto é,
é um quadrado perfeito. Vamos usar aritmética modular, trabalhando com congruências módulo
.
Passo 2
Primeiro, analisamos
módulo
. Como
temos para
Logo,
Passo 3
Agora, lembramos que qualquer quadrado perfeito
só pode ser congruente a
ou a
módulo
. De fato, se
é par,
então
e se
é ímpar,
então
Passo 4
Como mostramos que
e nenhum quadrado pode ser
módulo
, concluímos que
não é um quadrado perfeito para nenhum
.
Resposta
Portanto, nenhum número da sequência
,
,
, ···) é um quadrado perfeito.