Mostre que
nenhum número na sequência 99, 999, 9 999, 99999 etc., é um quadrado.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que nenhum número formado apenas por dígitos 9, isto é,
Nn = 99ldots 9 = 10^n - 1 com n>=2,
é um quadrado perfeito. Vamos usar aritmética modular, trabalhando com congruências módulo 4.

Passo 2

Primeiro, analisamos 10^n módulo 4. Como
10 equiv 2 pmod4,
temos para n>=2
10^n equiv 2^n equiv 0 pmod4
Logo,
10^n - 1 equiv 0 - 1 equiv 3 pmod4

Passo 3

Agora, lembramos que qualquer quadrado perfeito m^2 só pode ser congruente a 0 ou a 1 módulo 4. De fato, se m é par, m=2k então
m^2 = 4k^2 equiv 0 pmod4,
e se m é ímpar, m=2k+1 então
m^2 = 4k^2 + 4k + 1 equiv 1 pmod4

Passo 4

Como mostramos que
Nn = 10^n - 1 equiv 3 pmod4,
e nenhum quadrado pode ser 3 módulo 4, concluímos que Nn não é um quadrado perfeito para nenhum n>=2.

Resposta

Portanto, nenhum número da sequência 99, 999, 9999, ···) é um quadrado perfeito.

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