Mostre que
nenhum número na sequência
etc., é um quadrado.
nenhum número na sequência
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que nenhum inteiro cuja representação decimal seja formada só pelo dígito
(isto é, os números
) é um quadrado perfeito. Vamos usar noções de divisibilidade e restos módulo para chegar a uma contradição.
Passo 2
Seja
o número com
dígitos iguais a
. Como soma de progressão geométrica,
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
seja um quadrado, ou seja, exista
tal que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Do lado direito há um fator
, então
. Como
, segue
e, portanto,
. Logo
para algum
, e
Substituindo em
, fica
o que implica que
seria múltiplo de
.
Passo 5
Mas para qualquer
temos
logo
não é múltiplo de
. Isso contradiz o passo anterior.
Passo 6
A hipótese de que
é quadrado levou a uma contradição. Concluímos que nenhum dos números formados apenas pelo dígito
pode ser um quadrado perfeito.
Resposta
Não existe número na sequência
que seja um quadrado perfeito.