Mostre que
nenhum número na sequência 55,555,5555,55555 etc., é um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que nenhum inteiro cuja representação decimal seja formada só pelo dígito 5 (isto é, os números
5,55,555,5555,dots) é um quadrado perfeito. Vamos usar noções de divisibilidade e restos módulo para chegar a uma contradição.

Passo 2

Seja Nk o número com k dígitos iguais a 5. Como soma de progressão geométrica,
Nk ;=;5 + 5cdot10 + 5cdot10^2 + cdots + 5cdot10^k-1 ;=;510^k - 19

Passo 3

Suponha, por absurdo, que Nk seja um quadrado, ou seja, exista minZ tal que
Nk = m^2
Multiplicando ambos os lados por 9, obtemos
9,m^2 ;=;5l(10^k - 1r)

Passo 4

Do lado direito há um fator 5, então 5mid 9m^2. Como gcd(9,5)=1, segue 5mid m^2 e, portanto, 5mid m. Logo m=5n para algum ninZ, e
9m^2 =9cdot25,n^2=225,n^2
Substituindo em 9m^2=5(10^k-1), fica
225,n^2 =5l(10^k-1r) Longrightarrow 45,n^2 =10^k - 1,
o que implica que 10^k - 1 seria múltiplo de 5.

Passo 5

Mas para qualquer k>=1 temos
10^k equiv 0 pmod 5 Longrightarrow 10^k - 1 equiv -1 equiv 4 pmod 5,
logo 10^k-1 não é múltiplo de 5. Isso contradiz o passo anterior.

Passo 6

A hipótese de que Nk é quadrado levou a uma contradição. Concluímos que nenhum dos números formados apenas pelo dígito 5 pode ser um quadrado perfeito.

Resposta

Não existe número na sequência 55,555,5555,55555,dots que seja um quadrado perfeito.

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