S-3.16
Mostre que nenhum número da forma 4 n+2 é um quadrado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que nenhum número da forma 4n+2, com n inteiro, pode ser um quadrado perfeito. O conteúdo envolvido é aritmética modular, mais precisamente classes de restos de quadrados módulo 4.

Passo 2

Vamos ver quais restos um quadrado perfeito pode dar módulo 4. Seja m um inteiro qualquer. Existem dois casos:
  1. m é par, isto é, m=2k para algum inteiro k. Então
m^2 = (2k)^2 = 4k^2,
que é claramente múltiplo de 4, logo
m^2 equiv 0 pmod4
  1. m é ímpar, isto é, m=2k+1 para algum inteiro k. Então
m^2 = (2k+1)^2 = 4k(k+1) + 1
Aqui k(k+1) é um inteiro, então 4k(k+1) é múltiplo de 4 e temos
m^2 equiv 1 pmod4
Concluímos que, para todo inteiro m,
m^2 equiv 0 ou 1 pmod4

Passo 3

Agora observe o número genérico da forma 4n+2. Tomando-o módulo 4, temos
4n+2 equiv 2 pmod4

Passo 4

Como vimos, nenhum quadrado perfeito pode ser congruente a 2 módulo 4, pois quadrados só dão resto 0 ou 1. Logo um número da forma 4n+2 não pode ser quadrado perfeito.

Resposta

Não existe inteiro m tal que m^2 = 4n+2; portanto, nenhum número da forma 4n+2 é quadrado.

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