S-3.16
Mostre que nenhum número da forma
é um quadrado.
Mostre que nenhum número da forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que nenhum número da forma
, com
inteiro, pode ser um quadrado perfeito. O conteúdo envolvido é aritmética modular, mais precisamente classes de restos de quadrados módulo 4.
Passo 2
Vamos ver quais restos um quadrado perfeito pode dar módulo 4. Seja
um inteiro qualquer. Existem dois casos:
-
é par, isto é, para algum inteiro . Então
que é claramente múltiplo de 4, logo
-
é ímpar, isto é, para algum inteiro . Então
Aqui
é um inteiro, então
é múltiplo de 4 e temos
Concluímos que, para todo inteiro
,
Passo 3
Agora observe o número genérico da forma
. Tomando-o módulo 4, temos
Passo 4
Como vimos, nenhum quadrado perfeito pode ser congruente a
módulo 4, pois quadrados só dão resto
ou
. Logo um número da forma
não pode ser quadrado perfeito.
Resposta
Não existe inteiro
tal que
; portanto, nenhum número da forma
é quadrado.