Mostre que (n+k, k)=1 se (n, k)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros n e k tais que \gcd(n,k)=1, vale também \gcd(n+k,k)=1. O conteúdo principal aqui é usar a propriedade do Algoritmo de Euclides que permite subtrair múltiplos de um número sem alterar o seu máximo divisor comum.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer inteiros a e b, se formos aplicar o Algoritmo de Euclides, podemos usar a propriedade
\gcd(a,b)=\gcd(a - b,b).
Isso vale porque qualquer divisor comum a a e b também divide a-b, e vice-versa.

Passo 3

Escolhendo a = n + k e b = k, aplicamos a propriedade acima:
\gcd(n+k,\;k) =\gcd\bigl((n+k)-k,\;k\bigr) =\gcd(n,k).
Por hipótese \gcd(n,k)=1, portanto
\gcd(n+k,k)=1.

Resposta

Mostramos que, se \gcd(n,k)=1, então necessariamente \gcd(n+k,k)=1.

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