Questão 01: Prove que existem infinitos
naturais tais que
, encontre menor deles.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que há infinitos naturais
tais que
e, em seguida, encontrar o menor desses .
O que vamos usar: definição de , razão de testar valores pequenos para achar o primeiro exemplo, e depois um argumento de família infinita usando aritmética modular e o Pequeno Teorema de Fermat.
e, em seguida, encontrar o menor desses
O que vamos usar: definição de
Passo 2
Vamos testar os primeiros
e calcular
:
Passo 3
Do cálculo acima vemos que o menor
com
é
pois .
pois
Passo 4
Para produzir infinitos exemplos, note que
. Seja
Então
. Como
é par,
(já que
), logo
Assim
divide simultaneamente
e
, ou seja
para todo
. Isso garante infinitos
com a propriedade desejada.
Resposta
O menor
com
é
.
Uma família infinita desses é dada por
Uma família infinita desses
pois para todo
vale
.